上一篇综述文章 里我们简单介绍了L2R三种方法的一个概要，接下来将对这三种方法做详细介绍。本篇文章介绍第一种L2R方法–pointwise方法

1、原理

pointwise方法非常简单，考虑的是文档 (doc) 和查询 (query) 的绝对相关度，基于此，我们可以将排序问题转化为分类或者回归问题。我们以分类问题为例，一般来说，会根据相关度设置五个类别 ｛perfect ，excellent，good，fair，bad｝，对应数字 { 5，4，3，2，1 }，然后根据查询和返回文档可以标注样本，得到这样的形式 (query, doc, label)。 因此我们准备的样本格式如下，其中 $q_i$ 代表第 $i$ 个query，$x^{(i)}_{j}$ 表示和第 $i$ 个query相关的文档集里的第 $j$ 个文档，$C_{k}$ 代表所属类别。

2、常见算法

Pointwise方法主要包括以下算法：Pranking (NIPS 2002), OAP-BPM (EMCL 2003), Ranking with Large Margin Principles (NIPS 2002), Constraint Ordinal Regression (ICML 2005)。 我们详细介绍一下Pranking算法，原文地址：https://pdfs.semanticscholar.org/906f/50f545890ca81231be7cec7c59555c679dba.pdf

2.1 Prank 算法

对于给定的样本集合 ${(x^{1}, y^{1}),(x^{2}, y^{2}),...,(x^{t}, y^{t})}$，文档特征向量 $x^{i} in mathbb{R^{n}}$，对应的排序序号 $yin mathcal{Y}$，不失一般性，假设 $mathcal{Y}={1,2,3,...,k}$，并使用 "$gt$"作为顺序关系，如果 $y^{s}gt y^{t}$，那么我们说 $x^{s}$ 优于 $x^{t}$，反之同理，但是当$y^{s} = y^{t}$ 时，$x^{s}$ 和 $x^{t}$ 不可比较。 假设有一个排序规则 $mathcal{H}: mathbb{R^n}longrightarrow y$，对于系数 $w$ 和 k个阈值集合 $b_1leq b_2leq ... leq b_k=infty$，为方便起见，令 $b=(b_1,b_2,...,b_{k-1})$，然后就是要找到满足 $wcdot x lt b_r$ 的最小的 $b_r$，这个规则将空间分为若干平行的等值区域：所有满足 $b_{r-1}lt wcdot x lt b_{r}$ 的样本均属于同样的序号 $r$。因此，对于一个给定 $w$ 和 $b$ 的排序规则，我们可以预测一个新样本 $x$ 的序号是：
$H(x)=min_{rin {1,2,...,k}}{r:wcdot x -b_rlt 0}$ 具体算法如下： Initialize: Set $w^{1}=0,b_{1}^{1},...,b_{k-1}^{1}=0,b_{k}^{1}=+infty$
Loop： For $t=1,2,...,T$

• Get a new rank-value $x^{t}in mathbb{R^n}$
• Predict $hat{y}^{t}=min_{rin {1,2,...,k}}{r:wcdot x -b_rlt 0}$
• Get a new label $y^{t}$
• If $hat{y}^{t} eq y^{t}$, update $w^{t}$ (otherwise set $w^{t+1}=w^{t}, forall r:b_{r}^{t+1}=b_{r}^{t}$