长短时记忆网络是啥

我们首先了解一下长短时记忆网络产生的背景。回顾一下零基础入门深度学习(5) - 循环神经网络中推导的，误差项沿时间反向传播的公式：我们可以根据下面的不等式，来获取的模的上界（模可以看做对中每一项值的大小的度量）：我们可以看到，误差项从t时刻传递到k时刻，其值的上界是的指数函数。分别是对角矩阵和矩阵W模的上界。显然，除非乘积的值位于1附近，否则，当t-k很大时（也就是误差传递很多个时刻时），整个式子的值就会变得极小（当乘积小于1）或者极大（当乘积大于1），前者就是梯度消失，后者就是梯度爆炸。虽然科学家们搞出了很多技巧（比如怎样初始化权重），让的值尽可能贴近于1，终究还是难以抵挡指数函数的威力。梯度消失到底意味着什么？在零基础入门深度学习(5) - 循环神经网络中我们已证明，权重数组W最终的梯度是各个时刻的梯度之和，即：假设某轮训练中，各时刻的梯度以及最终的梯度之和如下图：我们就可以看到，从上图的t-3时刻开始，梯度已经几乎减少到0了。那么，从这个时刻开始再往之前走，得到的梯度（几乎为零）就不会对最终的梯度值有任何贡献，这就相当于无论t-3时刻之前的网络状态h是什么，在训练中都不会对权重数组W的更新产生影响，也就是网络事实上已经忽略了t-3时刻之前的状态。这就是原始RNN无法处理长距离依赖的原因。既然找到了问题的原因，那么我们就能解决它。从问题的定位到解决，科学家们大概花了7、8年时间。终于有一天，Hochreiter和Schmidhuber两位科学家发明出长短时记忆网络，一举解决这个问题。其实，长短时记忆网络的思路比较简单。原始RNN的隐藏层只有一个状态，即h，它对于短期的输入非常敏感。那么，假如我们再增加一个状态，即c，让它来保存长期的状态，那么问题不就解决了么？如下图所示：新增加的状态c，称为单元状态(cell state)。我们把上图按照时间维度展开：上图仅仅是一个示意图，我们可以看出，在t时刻，LSTM的输入有三个：当前时刻网络的输入值、上一时刻LSTM的输出值、以及上一时刻的单元状态；LSTM的输出有两个：当前时刻LSTM输出值、和当前时刻的单元状态。注意、、都是向量。LSTM的关键，就是怎样控制长期状态c。在这里，LSTM的思路是使用三个控制开关。第一个开关，负责控制继续保存长期状态c；第二个开关，负责控制把即时状态输入到长期状态c；第三个开关，负责控制是否把长期状态c作为当前的LSTM的输出。三个开关的作用如下图所示：接下来，我们要描述一下，输出h和单元状态c的具体计算方法。

长短时记忆网络的前向计算

前面描述的开关是怎样在算法中实现的呢？这就用到了门（gate）的概念。门实际上就是一层全连接层，它的输入是一个向量，输出是一个0到1之间的实数向量。假设W是门的权重向量，是偏置项，那么门可以表示为：门的使用，就是用门的输出向量按元素乘以我们需要控制的那个向量。因为门的输出是0到1之间的实数向量，那么，当门输出为0时，任何向量与之相乘都会得到0向量，这就相当于啥都不能通过；输出为1时，任何向量与之相乘都不会有任何改变，这就相当于啥都可以通过。因为（也就是sigmoid函数）的值域是(0,1)，所以门的状态都是半开半闭的。LSTM用两个门来控制单元状态c的内容，一个是遗忘门（forget gate），它决定了上一时刻的单元状态有多少保留到当前时刻；另一个是输入门（input gate），它决定了当前时刻网络的输入有多少保存到单元状态。LSTM用输出门（output gate）来控制单元状态有多少输出到LSTM的当前输出值。我们先来看一下遗忘门：式上式中，是遗忘门的权重矩阵，表示把两个向量连接成一个更长的向量，是遗忘门的偏置项，是sigmoid函数。如果输入的维度是，隐藏层的维度是，单元状态的维度是（通常），则遗忘门的权重矩阵维度是。事实上，权重矩阵都是两个矩阵拼接而成的：一个是，它对应着输入项，其维度为；一个是，它对应着输入项，其维度为。可以写为：下图显示了遗忘门的计算：接下来看看输入门：式上式中，是输入门的权重矩阵，是输入门的偏置项。下图表示了输入门的计算：接下来，我们计算用于描述当前输入的单元状态，它是根据上一次的输出和本次输入来计算的：式下图是的计算：现在，我们计算当前时刻的单元状态。它是由上一次的单元状态按元素乘以遗忘门，再用当前输入的单元状态按元素乘以输入门，再将两个积加和产生的：式符号表示按元素乘。下图是的计算：这样，我们就把LSTM关于当前的记忆和长期的记忆组合在一起，形成了新的单元状态。由于遗忘门的控制，它可以保存很久很久之前的信息，由于输入门的控制，它又可以避免当前无关紧要的内容进入记忆。下面，我们要看看输出门，它控制了长期记忆对当前输出的影响：式下图表示输出门的计算：LSTM最终的输出，是由输出门和单元状态共同确定的：式下图表示LSTM最终输出的计算：式1到式6就是LSTM前向计算的全部公式。至此，我们就把LSTM前向计算讲完了。

长短时记忆网络的训练

熟悉我们这个系列文章的同学都清楚，训练部分往往比前向计算部分复杂多了。LSTM的前向计算都这么复杂，那么，可想而知，它的训练算法一定是非常非常复杂的。现在只有做几次深呼吸，再一头扎进公式海洋吧。

LSTM训练算法框架

LSTM的训练算法仍然是反向传播算法，对于这个算法，我们已经非常熟悉了。主要有下面三个步骤：

1. 前向计算每个神经元的输出值，对于LSTM来说，即、、、、五个向量的值。计算方法已经在上一节中描述过了。
2. 反向计算每个神经元的误差项值。与循环神经网络一样，LSTM误差项的反向传播也是包括两个方向：一个是沿时间的反向传播，即从当前t时刻开始，计算每个时刻的误差项；一个是将误差项向上一层传播。
3. 根据相应的误差项，计算每个权重的梯度。

关于公式和符号的说明

首先，我们对推导中用到的一些公式、符号做一下必要的说明。接下来的推导中，我们设定gate的激活函数为sigmoid函数，输出的激活函数为tanh函数。他们的导数分别为：从上面可以看出，sigmoid和tanh函数的导数都是原函数的函数。这样，我们一旦计算原函数的值，就可以用它来计算出导数的值。LSTM需要学习的参数共有8组，分别是：遗忘门的权重矩阵和偏置项、输入门的权重矩阵和偏置项、输出门的权重矩阵和偏置项，以及计算单元状态的权重矩阵和偏置项。因为权重矩阵的两部分在反向传播中使用不同的公式，因此在后续的推导中，权重矩阵、、、都将被写为分开的两个矩阵：、、、、、、、。我们解释一下按元素乘符号。当作用于两个向量时，运算如下：当作用于一个向量和一个矩阵时，运算如下：当作用于两个矩阵时，两个矩阵对应位置的元素相乘。按元素乘可以在某些情况下简化矩阵和向量运算。例如，当一个对角矩阵右乘一个矩阵时，相当于用对角矩阵的对角线组成的向量按元素乘那个矩阵：当一个行向量右乘一个对角矩阵时，相当于这个行向量按元素乘那个矩阵对角线组成的向量：上面这两点，在我们后续推导中会多次用到。在t时刻，LSTM的输出值为。我们定义t时刻的误差项为：注意，和前面几篇文章不同，我们这里假设误差项是损失函数对输出值的导数，而不是对加权输入的导数。因为LSTM有四个加权输入，分别对应、、、，我们希望往上一层传递一个误差项而不是四个。但我们仍然需要定义出这四个加权输入，以及他们对应的误差项。

误差项沿时间的反向传递

沿时间反向传递误差项，就是要计算出t-1时刻的误差项。我们知道，是一个Jacobian矩阵。如果隐藏层h的维度是N的话，那么它就是一个矩阵。为了求出它，我们列出的计算公式，即前面的式6和式4：显然，、、、都是的函数，那么，利用全导数公式可得：式下面，我们要把式7中的每个偏导数都求出来。根据式6，我们可以求出：根据式4，我们可以求出：因为：我们很容易得出：将上述偏导数带入到式7，我们得到：式根据、、、的定义，可知：式式式式式8到式12就是将误差沿时间反向传播一个时刻的公式。有了它，我们可以写出将误差项向前传递到任意k时刻的公式：式

将误差项传递到上一层

我们假设当前为第l层，定义l-1层的误差项是误差函数对l-1层加权输入的导数，即：本次LSTM的输入由下面的公式计算：上式中，表示第l-1层的激活函数。因为、、、都是的函数，又是的函数，因此，要求出E对的导数，就需要使用全导数公式：式式14就是将误差传递到上一层的公式。

权重梯度的计算

对于、、、的权重梯度，我们知道它的梯度是各个时刻梯度之和（证明过程请参考文章零基础入门深度学习(5) - 循环神经网络），我们首先求出它们在t时刻的梯度，然后再求出他们最终的梯度。我们已经求得了误差项、、、，很容易求出t时刻的、的、的、的：将各个时刻的梯度加在一起，就能得到最终的梯度：对于偏置项、、、的梯度，也是将各个时刻的梯度加在一起。下面是各个时刻的偏置项梯度：下面是最终的偏置项梯度，即将各个时刻的偏置项梯度加在一起：对于、、、的权重梯度，只需要根据相应的误差项直接计算即可：以上就是LSTM的训练算法的全部公式。因为这里面存在很多重复的模式，仔细看看，会发觉并不是太复杂。当然，LSTM存在着相当多的变体，读者可以在互联网上找到很多资料。因为大家已经熟悉了基本LSTM的算法，因此理解这些变体比较容易，因此本文就不再赘述了。

长短时记忆网络的实现

完整代码请参考GitHub: https://github.com/hanbt/learn_dl/blob/master/lstm.py (python2.7)

在下面的实现中，LSTMLayer的参数包括输入维度、输出维度、隐藏层维度，单元状态维度等于隐藏层维度。gate的激活函数为sigmoid函数，输出的激活函数为tanh。

激活函数的实现

我们先实现两个激活函数：sigmoid和tanh。

1. class SigmoidActivator(object):
2. def forward(self, weighted_input):
3. return 1.0 / (1.0 + np.exp(-weighted_input))
5. def backward(self, output):
6. return output * (1 - output)
9. class TanhActivator(object):
10. def forward(self, weighted_input):
11. return 2.0 / (1.0 + np.exp(-2 * weighted_input)) - 1.0
13. def backward(self, output):
14. return