在平面解析几何中，通过坐标法把平面上的点与一对有次序的数对应起来，把平面上的图形和方程对应起来，从而可以用代数的方法来研究几何问题，空间解析几何也是按照类似的方法建立起来的。

向量的概念

客观世界有这样一类量，它们既有大小，又有方向，例如位移、速度、加速度、力、力矩等，这一类量叫做向量（矢量）。 在数学上，常用一条有方向的线段来表示向量，线段的长度表示向量的大小，线段的方向表示向量的方向。 尽管在实际问题中，有些向量与它的起点有关，有些向量与它的起点无关，为了研究方便，数学上只考虑向量的大小和方向，而不论它的起点，这种向量也叫自由向量。 模：向量的大小叫做向量的模。模为1的向量叫做单位向量，模为0的向量叫做零向量。 夹角：两个向量OA 与OB所形成的角度θ， 0<=θ<=π，如果夹角为0或π，就称向量a与b平行，记作a//b，如果夹角为π/2,就称向量a与b垂直，记作a⊥b

向量的线性运算

向量的加法运算
向量的乘法运算：向量a与实数λ的乘积记作aλ，规定aλ是一个向量，它的模|aλ| =|λ||a| ,它的方向当λ>0时与a相同，当λ<0时与a相反。 定理1：设向量a≠0，则向量b平行于a的充分必要条件是：存在唯一的实数λ，使b=λa

空间直角坐标系

在空间取一点O和三个两两垂直的单位向量i，j，k，就确定了三条都以O为原点的两两垂直的数轴，形成Oxyz坐标。

三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，x与y轴所确定的平面叫xOy面，总共分成了3个平面，空间被分成了8个部分。

分解式

任给向量r，有对应点M，于是可证：
r=xi+yj+zk
上式叫做向量r的坐标分解式，xi、yj、zk称为向量r沿三个坐标轴方向的分向量。 显然，只要给定向量r，就确定了点M和三个分向量，进而确定了x、y、z三个有序数；反之给定三个有序数x、y、z，也就确定了向量r和对应点M。
M←→r=xi+yj+zk←→（x，y，z）
有序数x、y、z就是点M在坐标系中的坐标，记作M（x，y，z） 任给向量a，b，那么a=(ax,ay,az)，b=(bx,by,bz)，依据向量的加减法和乘法规则，易得：
a+b=（ax+bx,ay+by,az+bz）
a-b = （ax-bx,ay-by,az-bz）
λa=(λax,λay,λaz) 注意，记号（x，y，z）即可表示点M，也可表示向量OM，在几何中点与向量是两个不同的概念，须从上下文中认清它究竟表示点还是向量，如果是向量可以进行运算，如果是点，就不能进行运算。

向量的模计算

设向量r=(x,y,z)，记作r=OM，那么可推出向量的模坐标表达式：
|r|= (x^2+y ^2+ z ^2) ^(1/2)

设点A(x1,y1,z1)和点B（x2,y2,z2），则点A与点B间的距离|AB|就是向量AB的模
|AB| = ((x2-x1)^2+(y2-y1) ^2+ (z2-z1) ^2) ^(1/2)

因为根号里开了平方，所以x2-x1和 x1-x2平方后结果相同，这样也容易记。
但要注意，向量AB的坐标是(x2-x1,y2-y1,z2-z1) 在matlab中，单独一个向量a取模，使用函数norm a=[2,2,1] norm(a)
如果是两个点求距离，也即两点|ab|模，也使用函数norm a=[4,0,5] b=[7,1,3] norm(b-a) 答案是sqrt(14)，即

向量的方向角

非零向量r与三条坐标轴的夹角α，β，γ叫做向量r的方向角，易知：
cosα= x/|r| cosβ= y/|r| cosγ = z/|r|
从而(cosα ,cosβ, cosγ) = ( x/|r|, y/|r|, z/|r| ) = （x,y,z）/|r| = r/|r|
cosα ,cosβ, cosγ称为向量r的方向余弦。 例7 已知两点M1（2，2，2^(1/2)）和M2(1,3,0),计算向量M1M2的模，方向余弦和方位角。
解： m1=[2,2,2^(1/2)] m2=[1,3,0] model=norm(m1-m2) |m1|=|m2|=10^(1/2)
只有λ为实数时，|aλ| =|λ||a| ，模内的乘法才能拆分出来！！
m1和m2都是向量，绝对不能 |m1m2| ≠ |m1|*|m2|，而是要用公式来算。

m1m2向量=m2 -m1 = (-1,1,-2^(1/2))
cosα = x/|r| = -1/2 alpha=acos(-1/ans)
也即2*π/3,与书本上一致。