本章给出了2个重要的概念 分块矩阵：一个典型的计算流体动力学的方程组会有“稀疏”的系数矩阵。将变量正确地分组会产生许多零方块矩阵。 矩阵分解：即使使用分块矩阵，这样的方程组相当复杂。为了进一步简化计算，对系数矩阵进行了LU分解的方法。   【Section】矩阵运算 【定义】若A是mXn矩阵，B是nXp矩阵，B的列是b1,…,bp,则乘积AB是nXp矩阵，它的各列是Ab1,…,Abp，即
AB的每一列都是A的各列的线性组合，以B的对应列的元素为权。   计算AB行列法则 若乘积AB有定义，AB的第i行第j列的元素是A的第i行与B的第j列对应元素乘积之和。若(AB)ij表示AB的(i,j)元素，A为mXn矩阵，则
矩阵的乘幂：若A是nXn矩阵，k是正整数，则Ak表示k个A的乘积，Ak=A…A。   矩阵的转置：给定mXn矩阵A，则A的转置是一个nXm矩阵，用AT表示，它的列由A对应的行构成。 【定理3】设A与B表示矩阵，其维数使用下列和与积有定义，则 (AT)T=A；   (A+B)T=AT+BT；   对任意数r，(rA)T=rAT；  (AB)T=BTAT   【Section】矩阵的逆 一个nXn矩阵A是可逆的，若存在一个nXn矩阵C使 AC=I  且 CA=I 这里I=In是nXn单位矩阵。这是称C是A的逆阵。实际上，C由A惟一确定。不可逆矩阵有时称为奇异矩阵，而可逆矩阵也称为非奇异矩阵。
若ad-bc=0，则A不可逆。 【定理5】若A是可逆nXn矩阵，则对每一Rn中的b，方程Ax=b有惟一解x=A-1b。     把单位矩阵进行一次行变换，就得到初等矩阵。 若对mXn矩阵A进行某种初等行变换，所得矩阵可写成EA，其中E是mXm矩阵，是由Im进行同一行变换所得。 每个初等矩阵E是可逆的，E的逆是一个同类型的初等矩阵，它把E变换I。 如：
【定理7】nXn矩阵A是可逆的，当且仅当A行等价于In，这时，把A变为In的一系列初等行变换同时把In变成A-1。 如：
【Section】可逆矩阵的特性 a.A是可逆矩阵；  b.A等价于nXn单位矩阵；  c. A有n个主元位置；  d.方程Ax=0仅有平凡解；  e. A的各列线性无关；  f. 线性变换x->Ax是一对一的；  g.对Rn中任意b，方程Ax=b至少有一个解；  h. A的各列生成Rn；  i. 线性变换x->Ax把Rn映上到Rn上；   j. 存在nXn矩阵C使CA=I；  k.存在nXn矩阵D是AD=I；  l.AT是可逆矩阵。   【Section】矩阵因式分解     在计算机科学的语言中，将A表示为矩阵的乘积是对A中数据的预处理，把这些数据组成两个或更多部分，这种结构可能更有用，或者更便于计算。 （LU分解为什么这么有用）当A=LU时，方程Ax=b可写成L(Ux)=b，把Ux写成y，可以有解下面一对方程来求解x： Ly=b;  Ux=y 下面是使用LU分解求解例子
LU分解算法 设A可以化为阶梯形U。化简过程中仅用行倍加变换，即把一行的倍数加于它下面的另一行。这样，存在单位下三角初等矩阵E1，…,Ep使 Ep…E1A=U 于是 A=(Ep…E1)-1U=LU 其中 L=(Ep…E1)-1 【理解阐述】LU算法举例
【Section】计算机图形学中的应用     齐次坐标的定义只是一个概念，但它的一个重要区别是点与向量的区别：对于一个向量v以及基oabc，可以找到一组坐标(v1,v2,v3)，使得v=v1a+ v2b+ v3c。而对于一个点p，则可以找到一组坐标(p1,p2,p3)，使得p – o = p1a + p2b+ p3c。我们在表达这个向量的同时用等价的方式表达出了点：p =o + p1a + p2b + p3c。   【例】：给出下列变换4X4矩阵，绕y轴旋转30o的正半轴向原点看过去的逆时针方向的角。
下面是使用LU分解求解例子
透视投影（在opengl的3D原理中使用非常普遍）     为了简单起见，设xy平面表示计算机屏幕，假设某一观察者的眼睛向正z轴看去，眼睛的位置是(0, 0, d)，透视投影把每个点(x, y, z)映射为点(x*, y*,0)，使这两点与观察者的眼睛位置（称为透视中心）在一条直线上。
Xy平面上的三角形画在b中，由相似三角形知