一 ＤＳＰ定点算数运算 1 数的定标 在定点DSP芯片中,采用定点数进行数值运算,其操作数一般采用整型数来表示。一个整型数的最大表示范围取决于DSP芯片所给定的字长,一般为16位或24位。显然,字长越长,所能表示的数的范围越大,精度也越高。如无特别说明,本书均以16位字长为例。 DSP芯片的数以2的补码形式表示。每个16位数用一个符号位来表示数的正负,0表示数值为正,l则表示数值为负。其余15位表示数值的大小。因此, 二进制数0010000000000011b=8195 二进制数1111111111111100b= -4 对DSP芯片而言,参与数值运算的数就是16位的整型数。但在许多情况下,数学运算过程中的数不一定都是整数。那么,DSP芯片是如何处理小数的呢？应该说,DSP芯片本身无能为力。那么是不是说DSP芯片就不能处理各种小数呢？当然不是。这其中的关键就是由程序员来确定一个数的小数点处于16位中的哪一位。这就是数的定标。 通过设定小数点在16位数中的不同位置,就可以表示不同大小和不同精度的小数了。数的定标有Q表示法和S表示法两种。表1.1列出了一个16位数的16种Q表示、S表示及它们所能表示的十进制数值范围。 从表1.1可以看出,同样一个16位数,若小数点设定的位置不同,它所表示的数也就不同。例如, 16进制数2000H=8192,用Q0表示 16进制数2000H=0.25,用Q15表示 但对于DSP芯片来说,处理方法是完全相同的。 从表1.1还可以看出,不同的Q所表示的数不仅范围不同,而且精度也不相同。Q越大,数值范围越小,但精度越高;相反,Q越小,数值范围越大,但精度就越低。例如,Q0 的数值范围是一32768到+32767,其精度为1,而Q15的数值范围为-1到0.9999695,精度为1/32768=0.00003051。因此,对定点数而言,数值范围与精度是一对矛盾,一个变量要想能够表示比较大的数值范围,必须以牺牲精度为代价;而想精度提高,则数的表示范围就相应地减小。在实际的定点算法中,为了达到最佳的性能,必须充分考虑到这一点。 浮点数与定点数的转换关系可表示为： 浮点数(x)转换为定点数(xq)：xq=(int)x* 2Q 定点数(xq)转换为浮点数(x)：x=(float)xq*2-Q (Q与-Q为2的上标) 例如,浮点数x=0.5,定标Q=15,则定点数xq=L0.5*32768J=16384,式中LJ表示下取整。反之,一个用Q=15表示的定点数16384,其浮点数为163384*2-15=16384/32768=0.5。浮点数转换为定点数时,为了降低截尾误差,在取整前可以先加上0.5。 表1.1 Q表示、S表示及数值范围 Q表示 S表示 十进制数表示范围 Q15 S0.15 -1≤x≤0.9999695 Q14 S1.14 -2≤x≤1.9999390 Q13 S2.13 -4≤x≤3.9998779 Q12 S3.12 -8≤x≤7.9997559 Q11 S4.11 -16≤x≤15.9995117 Q10 S5.10 -32≤x≤31.9990234 Q9 S6.9 -64≤x≤63.9980469 Q8 S7.8 -128≤x≤127.9960938 Q7 S8.7 -256≤x≤255.9921875 Q6 S9.6 -512≤x≤511.9804375 Q5 S10.5 -1024≤x≤1023.96875 Q4 S11.4 -2048≤x≤2047.9375 Q3 S12.3 -4096≤x≤4095.875 Q2 S13.2 -8192≤x≤8191.75 Q1 S14.1 -16384≤x≤16383.5 Q0 S15.0 -32768≤x≤32767 2 高级语言：从浮点到定点   我们在编写DSP模拟算法时,为了方便,一般都是采用高级语言(如C语言)来编写模拟程序。程序中所用的变量一般既有整型数,又有浮点数。如例1.1程序中的变量i是整型数,而pi是浮点数,hamwindow则是浮点数组。 例1.1 256点汉明窗计算 int i;+ float pi=3.14l59; float hamwindow[256]; for(i=0;i<256;i++) hamwindow[i]=0.54-0.46*cos(2.0*pi*i/255); 如果我们要将上述程序用某种足点DSP芯片来实现,则需将上述程序改写为DSP芯片的汇编语言程序。为了DSP程序调试的方便及模拟定点DSP实现时的算法性能,在编写DSP汇编程序之前一般需将高级语言浮点算法改写为高级语言定点算法。下面我们讨论基本算术运算的定点实现方法。 2.1 加法/减法运算的C语言定点摸拟 设浮点加法运算的表达式为： float x,y,z; z=x+y; 将浮点加法/减法转化为定点加法/减法时最重要的一点就是必须保证两个操作数的定标 temp=x+temp; z=temp>>(Qx-Qz),若Qx>=Qz z=temp<<(Qz-Qx),若Qx<=Qz 例1.4结果超过16位的定点加法 设x=l5000,y=20000,则浮点运算值为z=x+y=35000,显然z>32767,因此 Qx=1,Qy=0,Qz=0,则定点加法为： x=30000;y=20000; temp=20000<<1=40000; temp=temp+x=40000+30000=70000; z=70000L>>1=35000; 因为z的Q值为0,所以定点值z=35000就是浮点值,这里z是一个长整型数。当加法或加法的结果超过16位表示范围时,如果程序员事先能够了解到这种情况,并且需要保持运算精度时,则必须保持32位结果。如果程序中是按照16位数进行运算的,则超过16位实际上就是出现了溢出。如果不采取适当的措施,则数据溢出会导致运算精度的严重恶化。一般的定点DSP芯片都没有溢出保护功能,当溢出保护功能有效时,一旦出现溢出,则累加器ACC的结果为最大的饱和值(上溢为7FFFH,下溢为8001H),从而达到防止溢出引起精度严重恶化的目的。 2.2乘法运算的C语言定点模拟 设浮点乘法运算的表达式为： float x,y,z; z=xy; 假设经过统计后x的定标值为Qx,y的定标值为Qy,乘积z的定标值为Qz,则 z=xy zq*2-Qx=xq*yq*2-(Qx+Qy) zq=(xqyq)2Qz-(Qx+Qy) 所以定点表示的乘法为： int x,y,z; long temp; temp=(long)x; z=(temp*y)>>(Qx+Qy-Qz); 例1.5定点乘法。 设x=18.4,y=36.8,则浮点运算值为=18.4*36.8=677.12; 根据上节,得Qx=10,Qy=9,Qz=5,所以 x=18841;y=18841; temp=18841L; z=(18841L*18841)>>(10+9-5)=354983281L>>14=21666; 因为z的定标值为5,故定点z=21666,即为浮点的z=21666/32=677.08。 2.3除法运算的C语言定点摸拟 设浮点除法运算的表达式为： float x,y,z; z=x/y; 假设经过统计后被除数x的定标值为Qx,除数y的定标值为Qy,商z的定标值为Qz,则 z=x/y zq*2-Qz=(xq*2-Qx)/(yq*2-Qy) zq=(xq*2(Qz-Qx+Qy))/yq 所以定点表示的除法为： int x,y,z; long temp; temp=(long)x; z=(temp<<(Qz-Qx+Qy))/y; 例1.6定点除法。 设x=18.4,y=36.8,浮点运算值为z=x/y=18.4/36.8=0.5; 根据上节,得Qx=10,Qy=9,Qz=15;所以有 z=18841,y=18841; temp=(long)18841; z=(18841L<<(15-10+9)/18841=3O8690944L/18841=16384; 因为商z的定标值为15,所以定点z=16384,即为浮点z=16384/215=0.5。 2.4程序变量的Q值确定 来源：(http://blog.sina.com.cn/s/blog_627b9b270100fqp9.html) - DSP中数据中定点与浮点的格式问题(转)_小人物_新浪博客 在前面几节介绍的例子中,由于x,y,z的值都是已知的,因此从浮点变为定点时Q值很好确定。在实际的DSP应用中,程序中参与运算的都是变量,那么如何确定浮点程序中变量的Q值呢？从前面的分析可以知道,确定变量的Q值实际上就是确定变量的动态范围,动态范围确定了,则Q值也就确定了。 设变量的绝对值的最大值为 max ,注意 max 必须小于或等于32767。取一个整数n,使满足 2n-1< max <2n 则有 2-Q=2-15*2n=2-(15-n) Q=15-n 例如,某变量的值在-1至+1之间,即 max <1,因此n=0,Q=15-n=15。 既然确定了变量的 max 就可以确定其Q值,那么变量的 max 又是如何确定的呢？一般来说,确定变量的 max 有两种方法。一种是理论分析法,另一种是统计分析法。 1. 理论分析法 有些变量的动态范围通过理论分析是可以确定的。例如： (1)三角函数。y=sin(x)或y=cos(x),由三角函数知识可知, y <=1。 (2)汉明窗。y(n)=0.54一0.46cos[nπn/(N-1)],0<=n<=N-1。因为-1<=cos[2πn/(N-1)]<=1,所以0.08<=y(n)<=1.0。 (3)FIR卷积。y(n)=∑h(k)x(n-k),设∑ h(k) =1.0,且x(n)是模拟信号12位量化值,即有 x(n) <=211,则 y(n) <=211。 (4)理论已经证明,在自相关线性预测编码(LPC)的程序设计中,反射系数ki满足下列不等式： ki <1.0,i=1,2,...,p,p为LPC的阶数。 2. 统计分析法 对于理论上无法确定范围的变量,一般采用统计分析的方法来确定其动态范围。所谓统计分析,就是用足够多的输入信号样值来确定程序中变量的动态范围,这里输入信号一方面要有一定的数量,另一方面必须尽可能地涉及各种情况。例如,在语音信号分析中,统计分析时就必须来集足够多的语音信号样值,并且在所采集的语音样值中,应尽可能地包含各种情况。如音量的大小,声音的种类(男声、女声等)。只有这样,统计出来的结果才能具有典型性。 当然,统计分析毕竟不可能涉及所有可能发生的情况,因此,对统计得出的结果在程序设计时可采取一些保护措施,如适当牺牲一些精度,Q值取比统计值稍大些,使用DSP芯片提供的溢出保护功能等。 2.5浮点至定点变换的C程序举例 本节我们通过一个例子来说明C程序从浮点变换至定点的方法。这是一个对语音信号(0.3~3.4kHz)进行低通滤波的C语言程序,低通滤波的截止频率为800Hz,滤波器采用19点的有限冲击响应FIR滤波。语音信号的采样频率为8kHz,每个语音样值按16位整型数存放在insp.dat文件中。 例1.7语音信号800Hz 19点FIR低通滤波C语言浮点程序。 #include const int length=180 void filter(int xin[],int xout[],int n,float h[]);   static float h[19]= {0.01218354,-0.009012882,-0.02881839,-0.04743239,-0.04584568, -0.008692503,0.06446265,0.1544655,0.2289794,0.257883, 0.2289794,0.1544655,0.06446265,-0.008692503,-0.04584568, -0.04743239,-0.02881839,-0.009012882,O.01218354}; static int xl[length+20];   void filter(int xin[],int xout[],int n,float h[]) { int i,j; float sum; for(i=0;i const int length=180; void filter (int xin[],int xout[],int n,int h[]); static int h[19]={399,-296,-945,-1555,-1503,-285,2112,5061,7503,8450, 7503,5061,2112,-285,-1503,-1555,-945,-296,399}; static int x1[length+20];   void filter(int xin[],int xout[],int n,int h[]) int i,j; long sum; for(i=0;i＜length;i++)x1[n＋i-111=xin][i]; for(i=0;i＜1ength;i++) sum=0; for(j=0;j＜n;j++)sum+=(long)h[j]*x1[i-j＋n-1]; xout[i]=sum>>15; for(i=0;i＜(n-1);i＋＋)x1[n-i-2]=xin[length-i-1]; } 主程序与浮点的完全一样。 3 DSP定点算术运算 定点DSP芯片的数值表示基于2的补码表示形式。每个16位数用l个符号位、i个整数位和15-i个小数位来表示。因此： 00000010.10100000 表示的值为： 21＋2-1＋2-3=2.625 这个数可用Q8格式(8个小数位)来表示,其表示的数值范围为-128至＋l27.996,一个Q8定点数的小数精度为1/256=0.004。 虽然特殊情况(如动态范围和精度要求)必须使用混合表示法。但是,更通常的是全部以Q15格式表示的小数或以Q0格式表示的整数来工作。这一点对于主要是乘法和累加的信号处理算法特别现实,小数乘以小数得小数,整数乘以整数得整数。当然,乘积累加时可能会出现溢出现象,在这种情况下,程序员应当了解数学里面的物理过程以注意可能的溢出情况。下面我们来讨论乘法、加法和除法的DSP定点运算,汇编程序以TMS320C25为例。 3.1定点乘法 两个定点数相乘时可以分为下列三种情况： 1. 小数乘小数 例1.9 Q15*Q15=Q30 0.5*0.5=0.25 0.100000000000000;Q15 * 0.100000000000000;Q15 -------------------------------------------- 00.010000000000000000000000000000=0.25;Q30 两个Q15的小数相乘后得到一个Q30的小数,即有两个符号位。一般情况下相乘后得到的满精度数不必全部保留,而只需保留16位单精度数。由于相乘后得到的高16位不满15位的小数据度,为了达到15位精度,可将乘积左移一位,下面是上述乘法的TMS320C25程序： LT OP1;OP1=4000H(0.5/Q15) MPY OP2;oP2=4000H(0.5/Ql5) PAC SACH ANS,1;ANS=2000H(0.25/Q15)