DSP数的表示：定点数乘法

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本文翻译自https://www.allaboutcircuits.com/technical-articles/multiplication-examples-using-the-fixed-point-representation/
做定点数乘法的时候，首先忽略掉小数点位置，将两个乘数的补码相乘；然后再确定小数点位置。

无符号数乘以无符号数

例一：假设a=101.0012" role="presentation" style="position: relative;">a=101.0012$a={101.001}_2$，b=100.0102" role="presentation" style="position: relative;">b=100.0102$b={100.010}_2$，a、b均为Q3.3格式无符号数。求axb。
考虑小数点位置，两个数可以表示为：
a=(101001)2×(2−3)10b=(100010)2×(2−3)10" role="presentation">a=(101001)2×(2−3)10b=(100010)2×(2−3)10$$\begin{array}{r}a=(101001{)}_2\times (2^{-3}{)}_{10}\\ b=(100010{)}_2\times (2^{-3}{)}_{10}\end{array}$$
axb可以表示为
a×b=((101001)2×(2−3)10)×((100010)2×(2−3)10)" role="presentation">a×b=((101001)2×(2−3)10)×((100010)2×(2−3)10)$$\begin{array}{r}a\times b=((101001{)}_2\times (2^{-3}{)}_{10})\times ((100010{)}_2\times (2^{-3}{)}_{10})\end{array}$$
即
a×b=((101001)2×(100010)2)×(2−6)10" role="presentation">a×b=((101001)2×(100010)2)×(2−6)10$$\begin{array}{r}a\times b=((101001{)}_2\times (100010{)}_2)\times (2^{-6}{)}_{10}\end{array}$$ 以上运算显示，在做定点小数乘法时，可以先不考虑点数的，当做整数来乘，然后将小数点放在右边起第6bit左边即可。
axb的二进制乘法过程如下：

将小数点放在结果的右边第六个bit的左边，得到结果a×b=10101.1100102=21.7812510" role="presentation" style="position: relative;">a×b=10101.1100102=21.7812510$a\times b={10101.110010}_2={21.78125}_{10}$。 例一的结果可以总结如下：
如果a、b的字长分别为Qn1.m1格式和Qn2.m2格式，那么axb格式为Qn.m。其中n=n1+n2,m=m1+m2。乘法结果字长为n+m，可以保证结果不会发生溢出。
在计算axb时，首先忽略小数点，看做整数做乘法，然后在结果的右边起第m bit的左边点小数点即可得到正确的结果。

有符号数乘以无符号数

例二：假设a=101.0012" role="presentation" style="position: relative;">a=101.0012$a={101.001}_2$，b=100.0102" role="presentation" style="position: relative;">b=100.0102$b={100.010}_2$，a、b均为Q3.3格式，a为有符号数，b为无符号数。求axb。
有符号数乘以无符号数的时候，与上面不同的是，所有的部分积都是有符号的。在做有符号数加法的时候，需要对长度较短的数进行符号位扩展。因此，这里所有的部分积相加的时候需要先进行符号扩展。首先忽略小数点，我们可以得到如下计算过程：

例二与例一唯一不同的地方是例二需要对部分积进行符号扩展。因为两个乘数都是6bit，相乘结果会是12bit，因此所有部分积都符号扩展到12bit。又由于所有数都是补码表示，12bit结果为模12运算，因此我们需要将结果的第13bit忽略掉。
然后考虑结果的小数点位置，可以得到
a×b=110011.1100102=−(001100.0011102)=−12.2187510" role="presentation" style="position: relative;">a×b=110011.1100102=−(001100.0011102)=−12.2187510$a\times b={110011.110010}_2=-({001100.001110}_2)=-{12.21875}_{10}$。该结果是和上面计算的十进制结果等效的，即−12.21875=−78264" role="presentation" style="position: relative;">−12.21875=−78264$-12.21875=-\frac{782}{64}$。 例三：假设a=100.002" role="presentation" style="position: relative;">a=100.002$a={100.00}_2$，b=111.1112" role="presentation" style="position: relative;">b=111.1112$b={111.111}_2$，a、b均为Q3.3格式，a为有符号数，b为无符号数。求axb。
该例子的计算过程和例二相似：

为了简化计算，可以对部分积进行两两逐步相加，每次相加后要将结果的符号位左边的值忽略掉。考虑小数点位置后得到最终结果：a×b=100000.1000002" role="presentation" style="position: relative;">a×b=100000.1000002$a\times b={100000.100000}_2$。 在进行接下来的讨论之前，需要回顾一下二进制补码表示的一个重要特性。

二进制补码表示重要特性

假设