DSP数的表示：定点小数Q 格式表示和加法

• DSP数的表示：定点小数Q 格式表示和加法
  • 在低开销DSP上表示小数
  • Q格式
  • 小数点位置选择
  • Q格式举例
  • 符号扩展
  • Q格式加法
  • 使用保护位（guard bit）防止溢出
  • 总结

本文翻译自https://www.allaboutcircuits.com/technical-articles/fixed-point-representation-the-q-format-and-addition-examples/ 定点表示是的我们可以在低开销的整数硬件上使用小数运算。本文首先介绍小数表示方法Q格式，然后给一些定点加法的例子。

在低开销DSP上表示小数

为了降低开销，很多数字信号处理器都设计成只能进行整数算术运算。为了在这些处理器上表示小数，我们可以使用隐含小数点。
例如，8bit字a=010101102" role="presentation" style="position: relative;">a=010101102$a={01010110}_2$，单被当做整数时表示8610" role="presentation" style="position: relative;">8610${86}_{1}0$。然而，我们可以假设存在一个隐含的小数点，并把该数理解为一个小数。假设小数点在第4和第5个bit之间，例如，a=0101.01102" role="presentation" style="position: relative;">a=0101.01102$a={0101.0110}_2$。我们可以通过以下公式得到该数等价的十进制的值：
a=0×23+1×22+0×21+1×20+0×2−1+1×2−2+1×2−3+0×2−4=5.375" role="presentation" style="position: relative;">a=0×23+1×22+0×21+1×20+0×2−1+1×2−2+1×2−3+0×2−4=5.375$a=0\times 2^3+1\times 2^2+0\times 2^1+1\times 2^0+0\times 2^{-1}+1\times 2^{-2}+1\times 2^{-3}+0\times 2^{-4}=5.375$
在这个例子中，我们用4bit表示整数部分，4bit表示小数部分。
从这个例子我们可以看到，小数点右边第一个bit的系数为0.5，第二个为0.25，以此类推。需要注意这个隐含的小数点并没有在硬件上表达，程序猿需要假设一个合适的缩放因子来正确的解释计算结果。在上面的例子中，硬件上只存储8bit数a=010101102" role="presentation" style="position: relative;">a=010101102$a={01010110}_2$。如果程序员想要用a表示5.375，就需要记住使用a进行的任何运算结果，都需要乘以一个缩放因子2−4" role="presentation" style="position: relative;">2−4$2^{-4}$。

Q格式

小数点位置不同，同一个二进制数可以表示不同的值。为了编程方便，我们通常在同一算法中使用固定的小数点位置。Q格式是用来表达一个二进制数中整数、小数分别有多少bit的一种表示格式。例如，我们用3bit表述整数部分，4bit表示小数部分，则这个数的格式为Q3.4格式。 对于一个字长固定的处理器，另一种可行的表示格式是只表示小数部分。例如，当我们使用一个字长为16bit的处理器的时候，我们可以简单是说我们是使用Q15格式来表示小数。这里的Q15表示小数点右边有15bit，左边有1bit。同时Q15也等效于Q1.15。

小数点位置选择

小数点位置的选取需要考虑两个方面：

• 算法中需要表示的最大值
• 可允许最大的量化噪声

第一个方面决定了整数部分需要的bit数，第二个方面决定了小数部分的bit数。
需要注意的是，除了隐含的缩放因子，Q格式的小数与计算机上整数的表示没有任何区别。我们也可以使用Q格式来表示二进制补码。

Q格式举例

例一
假设算法需要用到浮点数a=9.21695743609119810" role="presentation" style="position: relative;">a=9.21695743609119810$a={9.216957436091198}_{10}$。现在该值在浮点表示时算法表现良好。假设我们要用16bit字长的定点硬件来实现该算法，最合适的表示a的Q格式是什么？ 因为a的整数部分在8和16之间，因此我们至少需要4bit来表示整数部分。假设我们使用有符号数，那么符号位需要占用以为，即小数点左边有5bit。因此我们使用Q5.11格式。
改格式表示的数的缩放因子为2−11" role="presentation" style="position: relative;">2−11$2^{-11}$。也就是说Q5.11形式表示的a对应的去掉小数点后的值等于Q5.11表示的数乘以211" role="presentation" style="position: relative;">211$2^{11}$。因此，为了将a表示为Q5.11格式，我们先将a乘以211" role="presentation" style="position: relative;">211$2^{11}$，对其四舍五入到最接近的整数，然后在将四舍五入结果转换为二进制：
a×211=18876.3288≈18876=100100110111100(2)" role="presentation" style="position: relative;">a×211=18876.3288≈18876=100100110111100(2)$a\times 2^{11}=18876.3288\approx 18876=10010011011{1100}_{(2)}$
因为a是正数，因此符号位为0，a的Q5.11格式表示为01001.00110111100。对于负数，我们需要首先找到其绝对值的Q格式表示，然后转换为二进制补码，再加上符号位。
例二
假设a=10.012" role="presentation" style="position: relative;">a=10.012$a={10.01}_2$为Q2.2格式的有符号数，其对应的十进制整数是什么？ 因为是有符号数，所以十进制数为-1乘以a的二进制补码对应的十进制数。a的二进制补码为01.112" role="presentation" style="position: relative;">01.112${01.11}_2$。因此a=−1.7510" role="presentation" style="position: relative;">a=−1.7510$a=-{1.75}_{10}$。

符号扩展

在做有符号数加法的时候，加数与被加数长度可能不同，这是，我们需要将较短的数进行符号位扩展。
例如，将10112" role="presentation" style="position: relative;">10112${1011}_2$扩展两位，得到1110112" role="presentation" style="position: relative;">1110112${111011}_2$。对于正数来说，符号位为0，符号扩展即填零，这不会改变数的大小。
对于负数来说，在补码表示中，一个负数是依据一个互补的常数定义的。kbit的数，这个互补常数为M=2k" role="presentation" style="position: relative;">M=2k$M=2^k$。
对于一个4bit的数，互补常数为M=24" role="presentation" style="position: relative;">M=24$M=2^4$，这时，一个4bit正数b对应的负数-b可以表示为M-b。下面解释如何用6bit表示这个4bit有符号数。
对于6bit数，互补常数为M′=26" role="presentation" style="position: relative;">M′=26$M^{{}^{\prime }}=2^6$，-b可以表示为M′−b" role="presentation" style="position: relative;">M′−b$M^{{}^{\prime }}-b$。因此，-b的6bit表示和4bit表示的差为：
(M′−b)−(M−b)=M′−M=26−24=01100002" role="presentation" style="position: relative;">(M′−b)−(M−b)=M