傅里叶变换及FFT原理

说起傅里叶变换，每个人第一反应都是从时域转换到频域的手段，如下图所示： 但除了这一点之外呢？原理呢，推导呢？大概都是一头雾水…… 而FFT并不是一种新的变换，它是离散傅立叶变换（DFT）的一种快速算法。 DFT的算法速度： 由于我们在计算DFT时一次复数乘法需用四次实数乘法和二次实数加法；一次复数加法则需二次实数加法。每运算一个 X（k）需要 4N 次复数乘法及2N+2（N-1）=2（2N-1）次实数加法。所以整个DFT运算总共需要4N^2次实数乘法和 N*2(2N-1)=2N(2N-1)次实数加法。如此一来，计算时乘法次数和加法次数都是和N^2成正比的，当N很大时，运算量是可观的，因而需要改进对 DFT 的算法减少运算速度。 根据傅立叶变换的对称性和周期性，我们可以将DFT运算中有些项合并。 FFT的算法速度： 我们先设序列长度为N=2^L，L 为整数。将N=2^L的序列 x(n)(n=0,1,……，N-1)，按N的奇偶分成两组，也就是说我们将一个N点的DFT分解成两个N/2点的DFT，他们又重新组合成一个如下式所表达的N点DFT：一般来说，输入被假定为连续的。当输入为纯粹的实数的时候，我们就可以利用左右对称的特性更好的计算FFT。 “FFT其实是很难的东西，即使常年在这个领域下打拼的科学家也未必能很好的写出FFT的算法。”所以，也不需要很头疼这个算法究竟什么意思，这个算法怎么手写，能用就行了。 关于傅里叶变换的原理和计算过程，比较复杂，如果想要深入理解，可以参考文章：从头到尾彻底理解傅里叶变换算法。本文由于文章篇幅就不展开讲述了。  

DSP5509A的FFT算法实现

下列FFT算法中的变量说明： 输入的信号为INPUT数组，FFT输出的信号为DATA数组，进行的是128点的FFT运算： #include "myapp.h" #include "csedu.h" #include "scancode.h" #include #define PI 3.1415926 #define SAMPLENUMBER 128 void InitForFFT(); void MakeWave(); int INPUT[SAMPLENUMBER],DATA[SAMPLENUMBER]; float fWaveR[SAMPLENUMBER],fWaveI[SAMPLENUMBER],w[SAMPLENUMBER]; float sin_tab[SAMPLENUMBER],cos_tab[SAMPLENUMBER]; main() { int i; InitForFFT(); MakeWave(); for ( i=0;i0 ) { b=b*2; i--; } /* b= 2^(L-1) */ for ( j=0;j<=b-1;j++ ) /* for (2) */ { p=1; i=7-L; while ( i>0 ) /* p=pow(2,7-L)*j; */ { p=p*2; i--; } p=p*j; for ( k=j;k<128;k=k+2*b ) /* for (3) */ { TR=dataR[k]; TI=dataI[k]; temp=dataR[k+b]; dataR[k]=dataR[k]+dataR[k+b]*cos_tab[p]+dataI[k+b]*sin_tab[p]; dataI[k]=dataI[k]-dataR[k+b]*sin_tab[p]+dataI[k+b]*cos_tab[p]; dataR[k+b]=TR-dataR[k+b]*cos_tab[p]-dataI[k+b]*sin_tab[p]; dataI[k+b]=TI+temp*sin_tab[p]-dataI[k+b]*cos_tab[p]; } /* END for (3) */ } /* END for (2) */ } /* END for (1) */ for ( i=0;i  

FFT算法实现的验证

启动调试，打开Tools->Graph，分别创建两个Singal Time（一个是原始的正选波形，一个是程序FFT得出的波形）和一个FFT Magnitude（CCS软件用FFT得出的波形），然后对比程序得出的和CCS帮得出的是否一致，就可以检查程序有没有问题。 显示FFT算法实现的结果，设置如下： 显示INPUT的输入波形（时域），设置如下： 显示INPUT的输入波形（频域），设置如下： 最终得出的波形图如下（从上到下分别为FFT算法实现的结果、输入INPUT的时域波形、输入INPUT的频域波形）： 我们从程序代码中看出，输入波形INPUT的表达式为： INPUT[i]=sin(PI*2*i/SAMPLENUMBER*3)*1024; 它的周期是：42.6666667，幅值是：1024。这与第二幅图的波形是保持一致的。 由于周期是42.6666667，所以它的频率是0.0234375，这与第三幅图的横坐标保持一致的。但是纵坐标却不一致！ 再看第一幅图，除了只有一个峰，表示只有一种频率存在，峰的横纵坐标更加都是乱七八糟的！！ 这是不是代表我们的FFT算法是错误的呢？  

FFT算法实现的解惑

解惑一：FFT变换之后，横纵坐标的意义是什么。

先看一下结论：

• 横坐标的变换：假设采样频率为Fs，采样点数为N，那么横坐标第n个点代表的频率 X(n) = （Fs/N）* n。
• 纵坐标的变换：假设原始信号的赋值为A，采样点数为N，那么纵坐标第n个点的幅值应该为 X(n) = （N/2）* A。

对照一下上面的程序，采样频率为1（作图的时候设置里面默认为1），采样点数为128，峰值的赋值为1024，那么有： 第三幅图的横坐标为3，可得到频率为3/128=0.0234375；纵坐标大约为65000，可得到原始幅值为65000/64=1015.625，与1024相差不大。 而输入INPUT的频域波形，由于CCS内部的机制不太清楚，所以不能确定有没有已经对横纵坐标进行了变换。 参考文章：FFT变换后，坐标单位是什么？

疑惑二：上面的算法是128点的FFT计算，要是想要其他点数的FFT计算，怎么修改呢？

先说一个办法： #define SAMPLENUMBER 128 修改这里的128成为自己想要的FFT的点数。这是不行的！ 原因：这里的128表示的样本的长度，并不是FFT的点数，点数是在FFT算法中x0-x6来表示的。也就是说，直接修改128是不能改变自己想要的FFT点数的。那怎么办？ 可以参考文章：FFT算法的DSP实现（与本文同样的思路）、FFT算法的完整DSP实现（另外的算法思路）。