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最小均方算法（LMS Algorithm）理论及DSP实现

2019-07-13 11:33发布

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        LMS算法可认为是机器学习里面最基本也比较有用的算法，神经网络中对参数的学习使用的就是LMS的思想，在通信信号处理领域LMS也非常常见，比如自适应滤波器。 本文主要对LMS（Least Mean Square）算法进行简单的整理，包括内容： （1）理论上介绍基于LMS的梯度下降算法（包括BACH/STOCHASTIC），给出一个matlab的实现 （2）DSP上的实现，主要使用C语言

1. LMS算法理论

问题引出 因为本人感兴趣的领域为机器学习，因此这里先说明下学习的过程，给定这样一个问题：某地的房价与房地面积和卧室的数量之间成如下表的关系， Living area (feet2)       #bedrooms          Price (1000$s)
2104                              3                           400
1600                              3                           330
2400                              3                           369
1416                              2                           232
3000                              4                           540 据此，我们要通过分析上面的数据学习出一个模型，用于预测其它情况（比如面积2000,卧室数5）的房价。这就是一个学习问题，更简洁的说，就是一个概率里的回归问题。这里固定几个符号：x表示输入（[Living area，bedrooms]），y表示输出（Price），h表示要学习的模型，m表示输入每个数据维度（这里是2），n表示输入数据的个数（这里是5）。 该学习过程的可以描述如下图，
.
h必定与面积和卧室数相关，.这里不考虑复杂的情况，假设模型是线性的（实际其它问题中很可能是其它关系模型，比如exp）
.
.令x1=1，则。这里，我们考虑上面的房价问题，还是将w0忽略。 为了获得h(x)，现在的问题是什么呢？那就是：怎样获得h(x)的w1~w2的值。 我们再对问题进行描述： 已知——上面的数据表格，线性模型（不知道参数） 求解——参数w1~w2 引入一个函数，叫损失函数
就是最小二乘法中计算误差的函数，只是前面添加了1/2，表示什么意思呢？损失函数越小，说明模型与当前已知数据的拟合程度越好，否则越差。因此，求解w1~w2的目标就是求解J(w)最小，这就用到了LMS算法。
LMS算法 LMS算法是一个搜索算法，假设w从某个给定的初始值开始迭代，逐渐使J(W)朝着最小的方向变化，直到达到一个值使J(w)收敛。考虑梯度下降算法（gradient descent algorithm），它通过给定的w值快速的执行如下的更新操作：
其中为学习率（Learning rate）。 要对w更新，首先需要完成上面的求导，求导的结果参见下面的算法流程。 对一个单一的训练实例j，

按照上述的更新方法，对多个实例的更新规则为 Repeat until convergence {         for every j, exec                    } 这种更新的梯度下降方法称为batch gradient descent。还有一种更新的方式：采用随机的样本数据实例，如下 Repeat until convergence {         for every j, exec                    } 这种方法称为stochastic gradient descent (或者incremental gradient descent)。 两种方法的明显区别是batch的训练时间要比stochastic常，但效果可能更好。实际问题中，因为我们只需要找到一个接近使J(w)最小的值即可，因此stochastic更常用。
说了这么久，LMS到底能用来干嘛，其实上面已经很清楚了：参数训练中的求极值。
在matlab上对stochastic gradient descent 的实现如下： function [test_targets, a, updates] = LMS(train_patterns, train_targets, test_patterns, params) % Classify using the least means square algorithm % Inputs: % train_patterns - Train patterns % train_targets - Train targets % test_patterns - Test patterns % param - [Maximum iteration Theta (Convergence criterion), Convergence rate] % % Outputs % test_targets - Predicted targets % a - Weights vector % updates - Updates throughout the learning iterations % % NOTE: Suitable for only two classes % [c, n] = size(train_patterns); [Max_iter, theta, eta] = process_params(params); y = [train_patterns ; ones(1,n)]; train_zero = find(train_targets == 0); %Preprocessing processed_patterns = y; processed_patterns(:,train_zero) = -processed_patterns(:,train_zero); b = 2*train_targets - 1; %Initial weights a = sum(processed_patterns')'; iter = 1; k = 0; update = 1e3; updates = 1e3; while ((sum(abs(update)) > theta) & (iter < Max_iter)) iter = iter + 1; %k <- (k+1) mod n k = mod(k+1,n); if (k == 0), k = n; end % a <- a + eta*(b-a'*Yk)*Yk' update = eta*(b(k) - a'*y(:,k))*y(:,k); a = a + update; updates(iter) = sum(abs(update)); end if (iter == Max_iter), disp(['Maximum iteration (' num2str(Max_iter) ') reached']); else disp(['Did ' num2str(iter) ' iterations']) end %Classify the test patterns test_targets = a'*[test_patterns; ones(1, size(test_patterns,2))]; test_targets = test_targets > 0;

2. 基于LMS的梯度下降算法在DSP上的实现

下面是我在DSP6713上使用软件仿真实现的LMS算法， /* * zx_lms.h * * Created on: 2013-8-4 * Author: monkeyzx */ #ifndef ZX_LMS_H_ #define ZX_LMS_H_ /* * methods for @lms_st.method */ #define STOCHASTIC (0x01) /* 随机梯度下降 */ #define BATCH (0x02) /* BATCH梯度下降 */ struct lms_st { short method; /* 0/1 */ double *x; /* features, x0,...,x[n-1] */ int n; /* dimension of features */ double *y; /* given output, y0,..,y[m-1] */ int m; /* number of data set */ double *weight; /* weighs that want to train by using LMS, w0,w1,..,w[n-1] */ double lrate; /* learning rate */ double threshhold; /* if error < threshold, stop iteration */ int max_iter; /* if iter numbers > max_iter, stop iteration, if max_iter<0, then max_iter is unused */ }; extern void zx_lms(void); #endif /* ZX_LMS_H_ */
/* * zx_lms.c * Least Mean Squares Algorithm * Created on: 2013-8-4 * Author: monkeyzx */ #include "zx_lms.h" #include "config.h" #include #include static double init_y[] = {4.00,3.30,3.69,2.32}; static double init_x[] = { 2.104,3, 1.600,3, 2.400,3, 3.000,4 }; static double weight[2] = {0.1, 0.1}; /* * Least Mean Square Algorithm * return value @error when stop iteration * use @lms_prob->method to choose a method. */ double lms(struct lms_st *lms_prob) { double err; double error; int i = 0; int j = 0; int iter = 0; static double *h = 0; /* 加static,防止栈溢出*/ h = (double *)malloc(sizeof(double) * lms_prob->m); if (!h) { return -1; } do { error = 0; if (lms_prob->method != STOCHASTIC) { i = 0; } else { /* i=(i+1) mod m */ i = i + 1; if (i >= lms_prob->m) { i = 0; } } for ( ; im; i++) { h[i] = 0; for (j=0; jn; j++) { h[i] += lms_prob->weight[j] * lms_prob->x[i*lms_prob->n+j]; /* h(x) */ } if (lms_prob->method == STOCHASTIC) break; /* handle STOCHASTIC */ } for (j=0; jn; j++) { if (lms_prob->method != STOCHASTIC) { i = 0; } for ( ; im; i++) { err = lms_prob->lrate * (lms_prob->y[i] - h[i]) * lms_prob->x[i*lms_prob->n+j]; lms_prob->weight[j] += err; /* Update weights */ error += ABS(err); if (lms_prob->method == STOCHASTIC) break; /* handle STOCHASTIC */ } } iter = iter + 1; if ((lms_prob->max_iter > 0) && ((iter > lms_prob->max_iter))) { break; } } while (error >= lms_prob->threshhold); free(h); return error; } #define DEBUG void zx_lms(void) { int i = 0; double error = 0; struct lms_st lms_prob; lms_prob.lrate = 0.01; lms_prob.m = 4; lms_prob.n = 2; lms_prob.weight = weight; lms_prob.threshhold = 0.2; lms_prob.max_iter = 1000; lms_prob.x = init_x; lms_prob.y = init_y; // lms_prob.method = STOCHASTIC; lms_prob.method = BATCH; // error = lms(init_x, 2, init_y, 4, weight, 0.01, 0.1, 1000); error = lms(&lms_prob); #ifdef DEBUG for (i=0; i
输入、输出、初始权值为 static double init_y[] = {4.00,3.30,3.69,2.32};
static double init_x[] = {        /* 用一维数组保存 */
2.104, 3,
1.600, 3,
2.400, 3,
3.000, 4
};
static double weight[2] = {0.1, 0.1};
 main函数中只需要调用zx_lms()就可以运行了，本文对两种梯度下降方法做了个简单对比， max_iter=1000 w1 w2 error CPU Cycles batch -0.6207369 1.419737 0.20947 2181500 stochastic 
 0.145440 0.185220 0.130640 995
需要说明的是：batch算法是达到最大迭代次数1000退出的，而stochastic是收敛退出的，因此这里batch算法应该没有对数据做到较好的拟合。stochastic算法则在时钟周期上只有995，远比batch更有时间上的优势。 注：这里的error没有太大的可比性，因为batch的error针对的整体数据集的error，而stochastic 的error是针对一个随机的数据实例。
LMS有个很重要的问题：收敛。开始时可以根据给定数据集设置w值，使h(x)尽可能与接近y，如果不确定可以将w设置小一点。
这里顺便记录下在调试过程中遇到的一个问题：在程序运行时发现有变量的值为1.#QNAN。 解决：QNAN是Quiet Not a Number简写，是常见的浮点溢出错误，在网上找到了解释 A QNaN is a NaN with the most significant fraction bit set. QNaN’s propagate freely through most arithmetic operations. These values pop out of an operation when the result is not mathematically defined.
 在开始调试过程中因为迭代没有收敛，发散使得w和error等值逐渐累积，超过了浮点数的范围，从而出现上面的错误，通过修改使程序收敛后上面的问题自然而然解决了。

参考： [1] Andrew Ng的机器学习课程 [2] Richard O.Duda 等，《模式分类》 

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