IIR peaking filter 探秘

• 引言
• 带通变peaking
• 第一步：给带通增加一个增益控制旋钮（系数）
• 第二步：并联一个直通信号 y（n）= x（n）
• 双线性变换到数字域
• 频域分析
• 结论

引言

一阶滤波器虽好，但是只能压一头，如果需要带通/带阻/peaking/notch一类的IIR滤波器，多需要高阶来帮忙了，本文先介绍一下peaking 滤波器的基本概念，peaking 滤波器是audio音频的parametric equalizer的基本单元，了解了它，我们就是可以一窥神奇和parametric equalizer了。

带通变peaking

首先我们还是给出前文得到的带通滤波器传递函数：
$H(s) = frac{BWs}{s^2+Omega_m ^2+BWs}$
带宽和通带中频如下定义
$BW= Omega_h- Omega_l$
$Omega_m=sqrt{ Omega_h* Omega_l}$
实际当中客户会提出品质因数Q来限定$Omega_m$与 $Omega_h Omega_l$的关系：
$Q=frac{Omega_m}{ Omega_h- Omega_l}=frac{Omega_m}{ BW}$
按照两步走的方法导出一个peaking 滤波器：

第一步：给带通增加一个增益控制旋钮（系数）

我们定义一个系数$B_0$，令带通滤波器的通带增益可调。
$H(s) = frac{ B_0*BWs}{s^2+Omega_m ^2+BWs}$

第二步：并联一个直通信号 y（n）= x（n）

并联直通信号的结果是传递函数,当s=0时, $|H(s)|=1+B_0$;当s=$infty$，|H(s)|=1。截止频率$Omega_c$。下面是传递函数的数学表达：$H(s) =1+frac{ B_0*BWs}{s^2+Omega_m ^2+BWs} =frac{ s^2+Omega_m ^2+(1+B_0)*BWs}{s^2+Omega_m ^2+BWs}$
peaking滤波器也可以理解为带有增益的带通滤波器和直联信号的并联形式。那么notch 滤波器可以通过带阻并联直通来实现吗？答案是否定的，其实notch 滤波器和peaking滤波器可以根据$B_0$调整增益来实现。

双线性变换到数字域

数字滤波器的通带中心频率：$omega_m =frac{2pi f_m}{f_s}$
预设Q值，我们可以得到带宽：
$BW=frac{Omega_m}{Q}$
代入先整理一下我们的传递函数：$H(s) =frac{ s^2+Omega_m ^2+(1+B_0)*frac{Omega_m}{Q}s}{s^2+Omega_m ^2+frac{Omega_m}{Q}s}$
$H(s) =frac{ s^2+Omega_m ^2+(1+B_0)*frac{Omega_m}{Q}s}{s^2+Omega_m ^2+frac{Omega_m}{Q}s}$
数字和模拟频率的转换关系：${\mathrm{\Omega }}_m=\frac{{\omega }_m}{T}$