{var%20f='http://v.t.sina.com.cn/share/share.php?appkey=1515056452',u=z||d.location,p=['&url=',e(u),'&title=',e(t||d.title),'&source=',e(r),'&sourceUrl=',e(l),'&content=',c||'gb2312','&pic=',e(p||'')].join('');function%20a(){if(!window.open([f,p].join(''),'mb',['toolbar=0,status=0,resizable=1,width=440,height=430,left=',(s.width-440)/2,',top=',(s.height-430)/2].join('')))u.href=[f,p].join('');};if(/Firefox/.test(navigator.userAgent))setTimeout(a,0);else%20a();})(screen,document,encodeURIComponent,'','','https://www.xiaopingtou.cn//data/attach/topic/topicKPo7gB.jpg', '推荐 AngerTiger 的文章《希尔伯特(Hilbert)变换》','https://www.xiaopingtou.net/article-79379.html','页面编码gb2312|utf-8默认gb2312'));){kind=link}
2.3希尔伯特变换
2.3.1希氏变换
希氏变换是完全在时域中进行的一种特殊的正交变换。也可以看成它是由一种特殊的滤波器完成的。
为了便于理解变换特点，我们首先讨论这种变换在频域中的规律（规则），然后再返回到时域来进一步认识它，并且变换后信号以 
表示，相应频谱以 
表示。
1．希氏（频域）变换定义
若信号存在傅立叶变换对 
，则其希氏变换的频谱等于该信号频谱 
的负频域全部频率成分相移 
，而正频域相移 
——完成这种变换的传递函数称为希氏滤波器传递函数，即有：
(2-25)
则希氏变换频谱为
(2-26)
2．希氏（时域）变换定义
为了得出时域中进行希氏变换的规则，可以很简单地由上述希氏滤波器传递函数 
，求出其冲激响应 
：
(2-27a)
利用傅立叶变换的互易定理，可由 
反演出 
：
(2-27b)
因此希氏变换的时域表示式为：
(2-28)
由希式变换的定义：
（1） 余弦信号的希式变换等于正弦信号；
（2） 正弦信号的希式变换等于余弦信号。
希氏变换在本章最后窄带噪声统计特征分析中，以及线性调制单边带生成过程中，均有非常重要的作用。
2.3.2希氏变换的主要性质
1．信号 
与其希氏变换 
的幅度频谱、功率（能量）谱以及自相关函数和功率（能量）均相等。这是由于功率谱、能量谱不反映信号相位特征。相应的，自相关函数也不反映信号的时间位置。
2． 
希氏变换 
再进行希氏变换表示为 
。则有：
(2-29)
3． 
与 
互为正交。
为证明最后一个性质的正确性，可通过互相关与能量谱进行计算：
式中右边：
(2-30)
由上式最后一个积分式可以看出，被积函数为奇函数与偶函数之乘积，因此该项积分等于0。于是，可得正交关系，即：
(能量信号) (2-31)
或
(功率信号) (2-32)
表示，相应频谱以 表示。
1．希氏（频域）变换定义
若信号存在傅立叶变换对 ，则其希氏变换的频谱等于该信号频谱 的负频域全部频率成分相移 ，而正频域相移 ——完成这种变换的传递函数称为希氏滤波器传递函数，即有：
(2-25)
则希氏变换频谱为
(2-26)
2．希氏（时域）变换定义
为了得出时域中进行希氏变换的规则，可以很简单地由上述希氏滤波器传递函数 ，求出其冲激响应 ：
(2-27a)
利用傅立叶变换的互易定理，可由 反演出 ：
(2-27b)
因此希氏变换的时域表示式为：
(2-28)
由希式变换的定义：
（1） 余弦信号的希式变换等于正弦信号；
（2） 正弦信号的希式变换等于余弦信号。
希氏变换在本章最后窄带噪声统计特征分析中，以及线性调制单边带生成过程中，均有非常重要的作用。
2.3.2希氏变换的主要性质
1．信号 与其希氏变换 的幅度频谱、功率（能量）谱以及自相关函数和功率（能量）均相等。这是由于功率谱、能量谱不反映信号相位特征。相应的，自相关函数也不反映信号的时间位置。
2． 希氏变换 再进行希氏变换表示为 。则有：
(2-29)
3． 与 互为正交。
为证明最后一个性质的正确性，可通过互相关与能量谱进行计算：
式中右边：
(2-30)
由上式最后一个积分式可以看出，被积函数为奇函数与偶函数之乘积，因此该项积分等于0。于是，可得正交关系，即：
(能量信号) (2-31)
或
(功率信号) (2-32)