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连续时间信号的抽样及其重建

2019-07-13 15:58发布

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class="markdown_views prism-github-gist">   现研究一连续信号进行抽样转换为数字信号，经数字信号处理器(DSP)或计算机处理后，再进行重建的过程，具体过程如下：
其中采样/保持电路和A/D转换电路可以看做是一个理想抽样的过程，而D/A转换和平滑录播可以看做是一个理想内插的过程。   假设理想抽样信号为
∑n=−∞∞δ(t−nTs)sum_{n=-infty}^{infty}delta(t-nT_s)
其中TsT_s为抽样的周期。那么模拟信号xa(t)x_a(t)经理想抽样后得到的抽样信号x^a(t)hat{x}_a(t)为
x^a(t)=xa(t)⋅∑n=−∞∞δ(t−nTs)hat{x}_a(t)=x_a(t) cdot sum_{n=-infty}^{infty}delta(t-nT_s)
设信号xa(t)x_a(t)的傅里叶变换为Xa(jΩ)X_a(jOmega),并且其最高频率为ΩmOmega_m,现研究抽样信号x^a(t)hat{x}_a(t)的傅里叶变换。
X^a(jΩ)=F[x^a(t)]=F[xa(t)⋅∑n=−∞∞δ(t−nTs)]=12πX(jΩ)∗2πTs∑n=−∞∞δ(Ω−nΩs)=1Ts∑n=−∞∞X(j(Ω−nΩs)) egin{aligned} hat{X}_a(jOmega)=F[hat{x}_a(t)]&=F[x_a(t) cdot sum_{n=-infty}^{infty}delta(t-nT_s)] \ &=frac{1}{2pi}X(jOmega)*frac{2pi}{T_s}sum_{n=-infty}^{infty}delta(Omega - nOmega_s) \ &=frac{1}{T_s}sum_{n=-infty}^{infty}X(j(Omega - nOmega_s)) end{aligned}
其中Ωs=2πTsOmega_s=frac{2pi}{T_s}。   从上式中就可以看出抽样信号的频谱是原信号频谱的周期延拓。 要保证频谱在周期延拓时不发生混叠，那么就要求
Ωs−Ωm≥Ωm⇒Ωs≥2ΩmOmega_s-Omega_mgeqOmega_m RightarrowOmega_sgeq2Omega_m
  把Ωs=2ΩmOmega_s=2Omega_m称为奈奎斯特采样频率，这是频谱不发生混叠允许的最小采样频率，此时可以通过一低通滤波器将信号恢复出来，若频谱发生了混叠，则很难将信号重建出来。   考虑信号的重建，由频谱图可知，通过一低通滤波器即可将信号完全的恢复出来，假设以频率Ωs>2ΩmOmega_s>2Omega_m进行抽样，考虑这么一个低通滤波器：
其傅里叶反变换为
hLP(t)=sinc(tTs)h_{LP}(t)=sinc(frac{t}{T_s})
其中sinc(t)=sin(πt)πtsinc(t)=frac{sin(pi t)}{pi t}   由频谱关系知
X(jΩ)=X^a(jΩ)⋅HLP(jΩ)X(jOmega)=hat{X}_a(jOmega) cdot H_{LP}(jOmega)
所以
xa(t)=x^a(t)∗hLP(t)=xa(t)⋅∑n=−∞∞δ(t−nTs)∗hLP(t)=∑n=−∞∞xa(nTs)δ(t−nTs)∗sinc(tTs)=∑n=−∞∞xa(nTs)sinc(1Ts(t−nTs)) egin{aligned} x_a(t)&=hat{x}_a(t) * h_{LP}(t) \ &=x_a(t) cdot sum_{n=-infty}^{infty}delta(t-nT_s) * h_{LP}(t) \ &=sum_{n=-infty}^{infty}x_a(nT_s)delta(t-nT_s) *sinc(frac{t}{T_s}) \ &=sum_{n=-infty}^{infty}x_a(nT_s)sinc(frac{1}{T_s}(t-nT_s)) end{aligned}

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