一、前言

​ 重采样分为上采样和下采样，下采样时需要对信号进行抽取，上采样时需要对信号进行插值，下面将介绍一种简单的重采样方式。

二、定义

​ 减少抽样率以去掉过多数据的过程称为信号的抽取(decimatim )”，增加抽样率以增加数据的过程称为信号的“插值(interpolation)。抽取、插值及其二者相结合的使用便可实现信号抽样率的转换。

三、算法

1、信号的抽取

​ 设$x(n)$为数字信号，欲使$f_s$减少$M$倍，最简单的方法是将$x(n)$中的每个点中抽取一个，依次组成一个新的序列$y(n)$，即
$y(n)=x(Mn)quad ngeq 0 ag{式1}$
此时，$y(n)$和$x(n)$的DTFT有如下关系（详见附A）：
$Y(e^{jw})=frac{1}{M}sum_{k=0}^{M-1}X(e^{j(w-2pi k)/M}) ag{式2}$
其含义是，将信号$x(n)$做$M$倍的抽取后，所得信号$y(n)$的频谱等于原信号$x(n)$的频谱先做$M$倍的扩展，再在$w$轴上做$frac{2pi}{M}quad (k=1,2,...,M-1)$的移位后再迭加。如下图所示。 ​ 由抽样定理，在由$x(t)$抽样变成$x(n)$时，若保证$f_sgeq 2f_c$，那么抽样的结果不会发生频谱混迭。对$x(n)$做$M$倍抽取得到$y(n)$，必须满足$f_s geq 2Mf_c$。 ​ 为了防止抽取后在$Y(e^{jw})$中出现混迭的方法是在对$x(n)$抽取前先做低通滤波，压缩其频带。 ​ 令$h(n)$为一理想低通滤波器，即
$H(e^{jw})=egin{cases}1&|w|leq frac{2pi}{M}\0&othersend{cases}$
​ 令滤波后的输出为$v(n)$，则
$v(n)=sum_{k=0}^{infty}h(k)x(Mn-k)$
$=sum_{k=0}^{infty}x(k)h(Mn-k)$
​ 得出
$Y(z)=frac{1}{M}sum_{k=0}^{M-1}X(z^{frac{1}{M}}W_M^k)H(z^{frac{1}{M}}W_M^k)$
$Y(e^{jw})=frac{1}{M}sum_{k=0}^{M-1}X(e^{j(w-2pi k)/M})H(e^{j(w-2pi k)/M})$

2、信号的插值

​ 将$x(n)$的采样率$f_s$增加$L$倍，即$Lf_s$，最简单的方法就是将$x(n)$每两个点之间补上$L-1$个零。设补零后的信号为$v(n)$，则
$v(n)=egin{cases}x(n/L)&n=0, pm L, pm 2L,...\0&othersend{cases}$
由于
$V(e^{jw})=sum_{n=0}^{infty}v(n)e^{-jwn}=sum_{n=0}^{infty}x(n/L)e^{-jwn}$