class="markdown_views prism-atom-one-light">

背景

研究空间域滤波方法是图像处理领域的重要内容。相比频域滤波，空间域滤波直接在图像空间上进行操作，除了传统的滤波外，还能加入各种直观的空间域操作，可扩展性和可理解性都比较强。在图像复原领域，当噪声较为复杂时，频域滤波方法因为难以计算得到噪声的频域模型，不能合理地去除噪声干扰，空间域方法就容易多了，因此空间域滤波方法占有很重要的地位。 图像复原问题的重要步骤是建立合理的图像退化模型。假设退化图像，即观测图像为H，原图为W，点扩散函数（可以理解为模糊卷积核）为S，噪声为N，*为卷积符号，则退化模型为$H=W*S+N$，所求为W。若假设图像误差满足高斯概率分布，那么可以用最小二乘思想来优化解决上述退化模型，模型为$argmin frac{1}{2}(W*S-H)^2$，现有方法比如维纳滤波、最小二乘空间域滤波都适用。不过如果要把退化模型推广到任意概率分布，就要寻找另外的更鲁棒的方法框架。

LR算法

Lucy-Richardson图像复原方法（LR方法或者RL方法）是一种基于贝叶斯思想的空间域上的图像复原方法。该算法从贝叶斯理论出发推导了图像迭代复原的基本框架。本文根据Richardson W H. 1972. 给出一个简单的例子。 我们知道光学图像中，由于成像时光线有散射等情况，导致图像中某个像素的像素值，由本身像素点的强度和邻近像素点的光线干扰组成。设原始图像第i个像素点为$W_i$，观测图像第k个像素点为$H_k$，$W_i$对$H_k$的像素值贡献可以表示为$S_{i,k}$。 如果把图像归一化，像素值当作概率值，那么整个图像辨成一个概率图，$W_i$等价于$P(W_i)$，$S_{i,k}$等价于$P(H_k|W_i)$，那么反过来已知观测图像，潜在的原始图像分布概率为$P(W_i|H_k)=frac{P(H_k|W_i)P(W_i)}{sum_j{P(H_k|W_j)P(W_j)}} ag{1}$，其中j代表点扩散函数S的作用范围；$P(H_k|W_i)$ 表示点扩散函数，可写作$P(S_{i,k})$。注意这里，归一化图像等效为概率图，并不是说某个像素值出现的概率服从某个概率分布。实际上是用贝叶斯原理等效解决图像空间域的问题。 设原图为$P(W_i)$，写出一个取巧的联合分布公式$P(W_i)=sum_k{P(W_i,H_k)}=sum_k{P(W_i|H_k)P(H_k)} ag{2}$右侧是贝叶斯公式转变而来的。联合公式(1)(2)可得：$P(W_i) = sum_k{frac{P(H_k|W_i)P(W_i)P(H_k)}{sum_j{P(H_k|W_j)P(W_j)}}} ag{3}$注意内外求和符号中，求和的对象是j和k。(3)中左右两侧都有$P(W_i)$，联系牛顿下降法的推导，可以得到一个迭代公式：$P^{r+1}(W_i) = sum_k{frac{P(H_k|W_i)P(H_k)P^r(W_i)}{sum_j{P(H_k|W_j)P^r(W_j)}}} ag{4}$ 现将(4)应用到真实图像复原场景中去。Richardson W H. 1972. 设定$P(W_i)= W_i/W$，$W$是归一化系数，对其他项也是同样的。(4)中各项概率值可以直接等效为像素值，其中归一化系数在上下分式中被舍弃：$W_i^{r+1} = sum_k{frac{S_{i,k}H_kW^r_i}{sum_j{S_{j,k}W^r_j}}} ag{5}$