Question 1

已知信号

这里，N=25，Q= 0.9+j0.3。可以推导出 ，

首先根据这个式子计算X(k) 的理论值，然后计算输入序列x(n)的32个值，再利用基2时间抽选的FFT算法，计算x(n)的离散傅里叶变换(DFT) X(k)，与X(k) 的理论值比较（要求计算结果最少6位有效数字）。

代码

format long; %精度达到15位 Q=complex(0.9,0.3); %计算Q n=0:24; xn=Q.^n; %生成25点x(n) WN=exp(-j*2*pi/25); %计算WN Xk=(1-Q.^25)./(1-Q.*WN.^n); %用理论公式计算X(k) xn=[xn,zeros(1,7)]; %补零生成32点x(n) Xk1=fft(xn,32); %用基2-时间抽选FFT计算X(k) subplot(3,1,1); %绘制定义式计算的X(k) stem(n,abs(Xk)); title('N=25 Use Definition'); subplot(3,1,2); %绘制DIT-FFT计算的X(k) stem(0:31,abs(Xk1)); title('N=32 Use DIT-FFT'); Xk=[Xk,zeros(1,7)]; subplot(3,1,3); %绘制差值图 stem(0:31,abs(Xk1-Xk)); title('Difference');

图像

由图像可知，FFT计算得到的X(k)与理论值基本一致，但也存在较大误差。这可能与计算机运算的舍入有关。

Question 2

假设信号x(n)由下述信号组成：
x(n)=0.001cos(0.45nπ)+sin(0.3nπ)−cos(0.302π−π4)
这个信号有两根主谱线 0.3π 和0.302π靠的非常近，而另一根谱线0.45π的幅度很小，请选择合适的长度 N和窗函数，用 DFT 分析其频谱，得到清楚的三根谱线。

分析

由于
2πω1=2π0.45π=409
2πω2=2π0.3π=203
2πω3=2π0.302π=1000151
综上，N取LowestCommonMultiple40,20,1000=1000.
此时三根谱线分别位于k=225,150,151处.
下面只需要选择合适的窗函数显示谱线即可。

代码

%进行1000点FFT运算 N=1000; n=[0:N-1]; xn=0.001*cos(0.45*pi*n)+ sin(0.3*pi*n)-cos(0.302*pi*n-pi/4); Xk=fft(xn,N); %绘制X(k)谱线 subplot(3,1,1); stem(0:499,abs(Xk(1:500))); %由于镜像对称，画出一半即可 xlabel(‘k’); title('X(k)'); %绘制0.3pi和0.302pi处谱线 subplot(3,1,2); stem(140:160,abs(Xk(141:161))); xlabel(‘k’); title('对0.3pi和0.302pi谱线的放大 对应k=150,151'); %绘制0.45pi处谱线 subplot(3,1,3); stem(220:230,abs(Xk(221:231))); xlabel(‘k’); title('对0.45pi谱线的放大 对应k=225');

图像

由图像可知，由于0.45π（k=225）处谱线幅值太小，在该标度下难以体现，而0.3π（k=150）和0.302π（k=151）处谱线相距太近，看起来像一条，故直接描绘X(k)难以分清，选择合适的窗范围，则可分别观察到清晰的谱线。

注

数字信号处理
Matlab实验二