本文首发于 算法社区 dspstack.com，转载请注明出处，谢谢。

写在前面#

我发现很多小伙伴对相关操作、能量密度谱以及系统识别之间的关系比较生疏，本文就讲讲它们之间的关系，看看能否解开各位小伙伴的疑惑

互相关和互能量密度谱#

引用上一篇卷积和互相关操作的关系中的互相关公式
 （2-1）
根据 离散傅里叶变换的 相关定理 知：
如果
 （2-2）
和
 （2-3）
成立，那么
 （2-4）
其中
称为信号序列 x 和 y 的互相关序列；
称为信号序列 x 和 y 的互能量密度谱； 所以两个信号的互相关序列的傅里叶变换 就是 互能量密度谱。
那么显然的，x 的自相关序列 就是把 互相关公式的 y 换成 x，之后再进行傅里叶变换，得到的就是 x 的能量密度谱。（类似地，也可以计算 y 的自相关序列 和 能量密度谱）

能量密度谱和互能量密度谱都是频率 w 的函数，它体现了一个信号在各个频率中所包含的有用信息程度。

而我们应该知道，傅里叶变换 其实就是 z-变换在单位圆上的计算，即 。

此时应该注意的是：我们已经把 z-变换，傅里叶变换 和 相关操作 都联系到了一起，可以说形成了一个小的知识体系。

互相关和系统识别的关系#

涉及到了系统之后，那么这里的互相关操作对象：x 就是输入序列 和 y 就是输出序列，另外增加一个系统脉冲响应 h。接下来我们讲讲 x 和 y 的互自相关序列，x 的自相关序列 和 h 的频域函数H之间的关系。
根据 卷积公式 和 相关操作 的关系，可知
 （3-1）
也就是
 （3-2）
在频域，相应的关系式为：
 （3-3）
也就是：
 （3-4）
所谓系统识别，就是求系统的频率响应函数或系统的脉冲响应。
那么式（3-4）给出的系统频率响应函数可通过 输出序列 y 和 输入序列 x 的互能量密度谱 和 输入序列 x 的能量密度谱 来求得。
此外，如果我们选择输入序列 x 使它的相关序列  是一个单位样本序列，或等价地，它的频谱在系统频率响应 H 的整个通带是平缓的（常数），那么脉冲响应 h 的值就等于互相关序列  。
当然，我们也可以使用 式（3-2）来求得 h(n) （卷积公式展开，使用递推关系）。由此，我们也可以推知，其实直接使用输入和输出的卷积公式，对其展开后使用递推，也可以求的 h 的值，需要具体情况具体分析。

总结#

本篇从互相关和互能量密度谱开始，推得自相关和能量密度谱的特殊例子，再从互相关和系统识别的角度讲解了它们之间的关系，从而获知互相关能量密度谱来求系统的频率响应函数的知识。其实相关操作在许多领域有着举足轻重的作用，比如它可以计算原信号的周期性等等，这个还需要我们自己深入的理解和应用。

本文首发于 算法社区 dspstack.com，转载请注明出处，谢谢。