What’s the difference between a single precision and double precision floating point operation?

• float：精度范围 10−38∼1038" role="presentation">10−38∼1038${10}^{-38}\sim {10}^{38}$
  
  • exp⁡(−102)≈10−44" role="presentation">exp(−102)≈10−44$\exp (-{10}^2)\approx {10}^{-44}$ ，float 下溢
• double：精度范围 10−308∼10308" role="presentation">10−308∼10308${10}^{-308}\sim {10}^{308}$
  
  • exp⁡(−103)≈10−434" role="presentation">exp(−103)≈10−434$\exp (-{10}^3)\approx {10}^{-434}$，double 下溢；

0. 64-bits CPU

如果说一个 CPU 是 64 位机，通常意味着，其具有 64 位的通用寄存器（general purpose register）以及内存地址空间的大小（memory address size），这与最终执行的数学运算，是单精度还是双精度，没有关系。

1. 单精度

S EEEEEEEE FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF 0 1 8 9 31

• 第 1 个 bit 位，表示的是符号位，S；
• 中间 8 位，表示指数部分，E；
• 末尾的 23 位，则表示小数部分，F；
• E=0，F=0，S=1，=> -0
• E=0，F=0，S=0，=> 0
• 0

0 00000000 00000000000000000000000 = 0 E=0，F=0，S=0，=> 0 1 00000000 00000000000000000000000 = -0 E=0，F=0，S=1，=> -0 0 11111111 00000000000000000000000 = Infinity 1 11111111 00000000000000000000000 = -Infinity 0 11111111 00000100000000000000000 = NaN E=255，F 非零 1 11111111 00100010001001010101010 = NaN E=255，F 非零 0 10000000 00000000000000000000000 = +1 * 2**(128-127) * 1.0 = 2 0 10000001 10100000000000000000000 = +1 * 2**(129-127) * 1.101 = 6.5 1.101 => 1+0.5+0.125=1.625 1 10000001 10100000000000000000000 = -1 * 2**(129-127) * 1.101 = -6.5 0 00000001 00000000000000000000000 = +1 * 2**(1-127) * 1.0 = 2**(-126) 0 00000000 10000000000000000000000 = +1 * 2**(-126) * 0.1 = 2**(-127) 0 00000000 00000000000000000000001 = +1 * 2**(-126) * 0.00000000000000000000001 = 2**(-149) (Smallest positive value)

2. 双精度

S EEEEEEEEEEE FFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFFF 0 1 11 12 63

• 1 位；
• 11 位；
• 52 位；