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FIR滤波器实现全通特性的充要条件——理论推导

2019-07-13 20:25发布

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对于FIR数字滤波器，可设其系统函数为
(1)H(z)=∑n=0N−1anz−n H(z)=sum_{n=0}^{N-1} a_n z^{-n} quad ag{1} 从(1)式中，可以看出，H(z)H(z)的极点全部都在z=0z=0处。
考虑到全通系统的每一对零极点都关于单位圆“镜像”，即极点在单位圆内，零点在单位圆外，且模长互为倒数。因此，满足全通特性的FIR滤波器的零点全部在z=∞z=infty（无穷远点）。
根据H(z)H(z)的特点，我们可以构造
(2)G(z)=zN−1H(z)=∑n=0N−1anzN−1−n=a0zN−1+a1zN−2+...+aN−2z+aN−1 G(z)=z^{N-1}H(z)=sum_{n=0}^{N-1} a_n z^{N-1-n} quad\ = a_0 z^{N-1}+a_1 z^{N-2}+...+a_{N-2} z+a_{N-1} ag{2}
显然，G(0)=aN−1≠0G(0)=a_{N-1} eq 0（对于滤波器而言，最高阶系数不可能为0）
①若a0,a1,...,aN−2a_0,a_1,...,a_{N-2}全为零，则
H(z)=aN−1z−(N−1)H(z)=a_{N-1}z^{-(N-1)}
令z=ejwz=e^{jw}，可以得到
H(ejw)=aN−1e−j(N−1)w∣H(ejw)∣=aN−1,Φ(w)=−(N−1)w H(e^{jw})=a_{N-1}e^{-j(N-1)w}\ |H(e^{jw})|=a_{N-1},Φ(w)=-(N-1)w
此时实现了一个线性相位的FIR全通滤波器。
②若a0,a1,...,aN−2a_0,a_1,...,a_{N-2}不全为零，则(2)式的多项式次数≥1geq1
由代数基本定理，在复数域内至少能找到一点z=z0z=z_0，使得
G(z0)=a0z0N−1+a1z0N−2+...+aN−2z0+aN−1=0 G(z_0)=a_0 z_0^{N-1}+a_1 z_0^{N-2}+...+a_{N-2} z_0+a_{N-1}=0
即
z0N−1H(z0)=0 z_0^{N-1}H(z_0)=0
又由于z0≠0z_0 eq 0，从而H(z0)=0H(z_0)=0
这与前文所要求的零点全部在z=∞z=infty（无穷远点）相违背，故H(z)H(z)不具有全通特性。
综上所述，N-1阶FIR滤波器具有全通特性  ⟺  a0=a1=...=aN−2=0iff a_0=a_1=...=a_{N-2}=0 (aN−1≠0)(a_{N-1} eq 0)

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