2019-07-21 04:37发布
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快速傅里叶变换FFT的C语言算法彻底研究fficeffice" />
LED音乐频谱显示的核心算法就是快速傅里叶变换,FFT的理解和编程还是比较难的,特地撰写此文分享一下研究成果。
一、彻底理解傅里叶变换
快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform)是离散傅里叶变换的一种快速算法,简称FFT,通过FFT可以将一个信号从时域变换到频域。
模拟信号经过A/D转换变为数字信号的过程称为采样。为保证采样后信号的频谱形状不失真,采样频率必须大于信号中最高频率成分的2倍,这称之为采样定理。
假设采样频率为fs,采样点数为N,那么FFT结果就是一个N点的复数,每一个点就对应着一个频率点,某一点n(n从1开始)表示的频率为:fn=(n-1)*fs/N。
举例说明:用1kHz的采样频率采样128点,则FFT结果的128个数据即对应的频率点分别是0,1k/128,2k/128,3k/128,…,127k/128 Hz。
这个频率点的幅值为:该点复数的模值除以N/2(n=1时是直流分量,其幅值是该点的模值除以N)。
二、傅里叶变换的C语言编程
1、对于快速傅里叶变换FFT,第一个要解决的问题就是码位倒序。
假设一个N点的输入序列,那么它的序号二进制数位数就是t=log2N.
码位倒序要解决两个问题:①将t位二进制数倒序;②将倒序后的两个存储单元进行交换。
①将t=3位二进制数倒序
②将倒序后的两个存储单元进行交换
如果输入序列的自然顺序号i用二进制数表示,例如若最大序号为15,即用4位就可表示n3n2n1n0,则其倒序后j对应的二进制数就是n0n1n2n3,那么怎样才能实现倒序呢?利用C语言的移位功能!
程序如下,我不多说,看不懂者智商一定在180以下!
复数类型定义及其运算
#define N 64 //64点
#define log2N 6 //log2N=6
/*复数类型*/
typedef struct
{
float real;
float img;
}complex;
complex xdata x[N]; //输入序列
/*复数加法*/
complex add(complex a,complex b)
complex c;
c.real=a.real+b.real;
c.img=a.img+b.img;
return c;
}
/*复数减法*/
complex sub(complex a,complex b)
c.real=a.real-b.real;
c.img=a.img-b.img;
/*复数乘法*/
complex mul(complex a,complex b)
c.real=a.real*b.real - a.img*b.img;
c.img=a.real*b.img + a.img*b.real;
/***码位倒序函数***/
void Reverse(void)
unsigned int i,j,k;
unsigned int t;
complex temp;//临时交换变量
for(i=0;i<N;i++)//从第0个序号到第N-1个序号
k=i;//当前第i个序号
j=0;//存储倒序后的序号,先初始化为0
for(t=0;t<log2N;t++)//共移位t次,其中log2N是事先宏定义算好的
j<<=1;
j|=(k&1);//j左移一位然后加上k的最低位
k>>=1;//k右移一位,次低位变为最低位
if(j>i)//如果倒序后大于原序数,就将两个存储单元进行交换(判断j>i是为了防止重复交换)
temp=x;
x=x[j];
x[j]=temp;
2、第二个要解决的问题就是蝶形运算
①第1级(第1列)每个蝶形的两节点“距离”为1,第2级每个蝶形的两节点“距离”为2,第3级每个蝶形的两节点“距离”为4,第4级每个蝶形的两节点“距离”为8。由此推得,
第m级蝶形运算,每个蝶形的两节点“距离”L=2m-1。
②对于16点的FFT,第1级有16组蝶形,每组有1个蝶形;第2级有4组蝶形,每组有2个蝶形;第3级有2组蝶形,每组有4个蝶形;第4级有1组蝶形,每组有8个蝶形。由此可推出,
对于N点的FFT,第m级有N/2L组蝶形,每组有L=2m-1个蝶形。
③旋转因子的确定
以16点FFT为例,第m级第k个旋转因子为,其中k=0~2m-1-1,即第m级共有2m-1个旋转因子,根据旋转因子的可约性,,所以第m级第k个旋转因子为,其中k=0~2m-1-1。
为提高FFT的运算速度,我们可以事先建立一个旋转因子数组,然后通过查表法来实现。
complex code WN[N]=//旋转因子数组 { //为节省CPU计算时间,旋转因子采用查表处理 //★根据实际FFT的点数N,该表数据需自行修改 //以下结果通过Excel自动生成 // WN[k].real=cos(2*PI/N*k); // WN[k].img=-sin(2*PI/N*k);
{1.00000,0.00000},{0.99518,-0.09802},{0.98079,-0.19509},{0.95694,-0.29028}, {0.92388,-0.38268},{0.88192,-0.47140},{0.83147,-0.55557},{0.77301,-0.63439}, {0.70711,-0.70711},{0.63439,-0.77301},{0.55557,-0.83147},{0.47140,-0.88192}, {0.38268,-0.92388},{0.29028,-0.95694},{0.19509,-0.98079},{0.09802,-0.99518}, {0.00000,-1.00000},{-0.09802,-0.99518},{-0.19509,-0.98079},{-0.29028,-0.95694}, {-0.38268,-0.92388},{-0.47140,-0.88192},{-0.55557,-0.83147},{-0.63439,-0.77301}, {-0.70711,-0.70711},{-0.77301,-0.63439},{-0.83147,-0.55557},{-0.88192,-0.47140}, {-0.92388,-0.38268},{-0.95694,-0.29028},{-0.98079,-0.19509},{-0.99518,-0.09802}, {-1.00000,0.00000},{-0.99518,0.09802},{-0.98079,0.19509},{-0.95694,0.29028}, {-0.92388,0.38268},{-0.88192,0.47140},{-0.83147,0.55557},{-0.77301,0.63439}, {-0.70711,0.70711},{-0.63439,0.77301},{-0.55557,0.83147},{-0.47140,0.88192}, {-0.38268,0.92388},{-0.29028,0.95694},{-0.19509,0.98079},{-0.09802,0.99518}, {0.00000,1.00000},{0.09802,0.99518},{0.19509,0.98079},{0.29028,0.95694}, {0.38268,0.92388},{0.47140,0.88192},{0.55557,0.83147},{0.63439,0.77301}, {0.70711,0.70711},{0.77301,0.63439},{0.83147,0.55557},{0.88192,0.47140}, {0.92388,0.38268},{0.95694,0.29028},{0.98079,0.19509},{0.99518,0.09802} };
3、算法实现
我们已经知道,N点FFT从左到右共有log2N级蝶形,每级有N/2L组,每组有L个。所以FFT的C语言编程只需用3层循环即可实现:最外层循环完成每一级的蝶形运算(整个FFT共log2N级),中间层循环完成每一组的蝶形运算(每一级有N/2L组),最内层循环完成单独1个蝶形运算(每一组有L个)。
/***【快速傅里叶变换】***/
void FFT(void)
unsigned int i,j,k,l;
complex top,bottom,xW;
Reverse(); //码位倒序
for(i=0;i<log2N;i++) /*共log2N级*/
{ //一级蝶形运算
l=1<<i;//l等于2的i次方
for(j=0;j<N;j+=2*l) /*每L个蝶形是一组,每级有N/2L组*/
{ //一组蝶形运算
for(k=0;k<l;k++) /*每组有L个*/
{ //一个蝶形运算
xW=mul(x[j+k+l],WN[N/(2*l)*k]); //碟间距为l
top=add(x[j+k],xW); //每组的第k个蝶形
bottom=sub(x[j+k],xW);
x[j+k]=top;
x[j+k+l]=bottom;
三、FFT计算结果验证
随便输入一个64点序列,例如 x[N]={{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0}}; 在Keil中Debug查看数组变量x的FFT计算结果并与MATLAB计算结果进行比对,可以发现非常准确,说明程序编写正确!
FFT验证:C语言与MATLAB计算结果对比
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快速傅里叶变换FFT的C语言算法彻底研究fficeffice" />
LED音乐频谱显示的核心算法就是快速傅里叶变换,FFT的理解和编程还是比较难的,特地撰写此文分享一下研究成果。
一、彻底理解傅里叶变换
快速傅里叶变换(Fast Fourier Transform)是离散傅里叶变换的一种快速算法,简称FFT,通过FFT可以将一个信号从时域变换到频域。
模拟信号经过A/D转换变为数字信号的过程称为采样。为保证采样后信号的频谱形状不失真,采样频率必须大于信号中最高频率成分的2倍,这称之为采样定理。
假设采样频率为fs,采样点数为N,那么FFT结果就是一个N点的复数,每一个点就对应着一个频率点,某一点n(n从1开始)表示的频率为:fn=(n-1)*fs/N。
举例说明:用1kHz的采样频率采样128点,则FFT结果的128个数据即对应的频率点分别是0,1k/128,2k/128,3k/128,…,127k/128 Hz。
这个频率点的幅值为:该点复数的模值除以N/2(n=1时是直流分量,其幅值是该点的模值除以N)。
二、傅里叶变换的C语言编程
1、对于快速傅里叶变换FFT,第一个要解决的问题就是码位倒序。
假设一个N点的输入序列,那么它的序号二进制数位数就是t=log2N.
码位倒序要解决两个问题:①将t位二进制数倒序;②将倒序后的两个存储单元进行交换。
①将t=3位二进制数倒序
②将倒序后的两个存储单元进行交换
如果输入序列的自然顺序号i用二进制数表示,例如若最大序号为15,即用4位就可表示n3n2n1n0,则其倒序后j对应的二进制数就是n0n1n2n3,那么怎样才能实现倒序呢?利用C语言的移位功能!
程序如下,我不多说,看不懂者智商一定在180以下!
复数类型定义及其运算
#define N 64 //64点
#define log2N 6 //log2N=6
/*复数类型*/
typedef struct
{
float real;
float img;
}complex;
complex xdata x[N]; //输入序列
/*复数加法*/
complex add(complex a,complex b)
{
complex c;
c.real=a.real+b.real;
c.img=a.img+b.img;
return c;
}
/*复数减法*/
complex sub(complex a,complex b)
{
complex c;
c.real=a.real-b.real;
c.img=a.img-b.img;
return c;
}
/*复数乘法*/
complex mul(complex a,complex b)
{
complex c;
c.real=a.real*b.real - a.img*b.img;
c.img=a.real*b.img + a.img*b.real;
return c;
}
/***码位倒序函数***/
void Reverse(void)
{
unsigned int i,j,k;
unsigned int t;
complex temp;//临时交换变量
for(i=0;i<N;i++)//从第0个序号到第N-1个序号
{
k=i;//当前第i个序号
j=0;//存储倒序后的序号,先初始化为0
for(t=0;t<log2N;t++)//共移位t次,其中log2N是事先宏定义算好的
{
j<<=1;
j|=(k&1);//j左移一位然后加上k的最低位
k>>=1;//k右移一位,次低位变为最低位
}
if(j>i)//如果倒序后大于原序数,就将两个存储单元进行交换(判断j>i是为了防止重复交换)
{
temp=x;
x=x[j];
x[j]=temp;
}
}
}
2、第二个要解决的问题就是蝶形运算
①第1级(第1列)每个蝶形的两节点“距离”为1,第2级每个蝶形的两节点“距离”为2,第3级每个蝶形的两节点“距离”为4,第4级每个蝶形的两节点“距离”为8。由此推得,
第m级蝶形运算,每个蝶形的两节点“距离”L=2m-1。
②对于16点的FFT,第1级有16组蝶形,每组有1个蝶形;第2级有4组蝶形,每组有2个蝶形;第3级有2组蝶形,每组有4个蝶形;第4级有1组蝶形,每组有8个蝶形。由此可推出,
对于N点的FFT,第m级有N/2L组蝶形,每组有L=2m-1个蝶形。
③旋转因子的确定
以16点FFT为例,第m级第k个旋转因子为,其中k=0~2m-1-1,即第m级共有2m-1个旋转因子,根据旋转因子的可约性,,所以第m级第k个旋转因子为,其中k=0~2m-1-1。
为提高FFT的运算速度,我们可以事先建立一个旋转因子数组,然后通过查表法来实现。
complex code WN[N]=//旋转因子数组
{ //为节省CPU计算时间,旋转因子采用查表处理
//★根据实际FFT的点数N,该表数据需自行修改
//以下结果通过Excel自动生成
// WN[k].real=cos(2*PI/N*k);
// WN[k].img=-sin(2*PI/N*k);
{1.00000,0.00000},{0.99518,-0.09802},{0.98079,-0.19509},{0.95694,-0.29028},
{0.92388,-0.38268},{0.88192,-0.47140},{0.83147,-0.55557},{0.77301,-0.63439},
{0.70711,-0.70711},{0.63439,-0.77301},{0.55557,-0.83147},{0.47140,-0.88192},
{0.38268,-0.92388},{0.29028,-0.95694},{0.19509,-0.98079},{0.09802,-0.99518},
{0.00000,-1.00000},{-0.09802,-0.99518},{-0.19509,-0.98079},{-0.29028,-0.95694},
{-0.38268,-0.92388},{-0.47140,-0.88192},{-0.55557,-0.83147},{-0.63439,-0.77301},
{-0.70711,-0.70711},{-0.77301,-0.63439},{-0.83147,-0.55557},{-0.88192,-0.47140},
{-0.92388,-0.38268},{-0.95694,-0.29028},{-0.98079,-0.19509},{-0.99518,-0.09802},
{-1.00000,0.00000},{-0.99518,0.09802},{-0.98079,0.19509},{-0.95694,0.29028},
{-0.92388,0.38268},{-0.88192,0.47140},{-0.83147,0.55557},{-0.77301,0.63439},
{-0.70711,0.70711},{-0.63439,0.77301},{-0.55557,0.83147},{-0.47140,0.88192},
{-0.38268,0.92388},{-0.29028,0.95694},{-0.19509,0.98079},{-0.09802,0.99518},
{0.00000,1.00000},{0.09802,0.99518},{0.19509,0.98079},{0.29028,0.95694},
{0.38268,0.92388},{0.47140,0.88192},{0.55557,0.83147},{0.63439,0.77301},
{0.70711,0.70711},{0.77301,0.63439},{0.83147,0.55557},{0.88192,0.47140},
{0.92388,0.38268},{0.95694,0.29028},{0.98079,0.19509},{0.99518,0.09802}
};
3、算法实现
我们已经知道,N点FFT从左到右共有log2N级蝶形,每级有N/2L组,每组有L个。所以FFT的C语言编程只需用3层循环即可实现:最外层循环完成每一级的蝶形运算(整个FFT共log2N级),中间层循环完成每一组的蝶形运算(每一级有N/2L组),最内层循环完成单独1个蝶形运算(每一组有L个)。
/***【快速傅里叶变换】***/
void FFT(void)
{
unsigned int i,j,k,l;
complex top,bottom,xW;
Reverse(); //码位倒序
for(i=0;i<log2N;i++) /*共log2N级*/
{ //一级蝶形运算
l=1<<i;//l等于2的i次方
for(j=0;j<N;j+=2*l) /*每L个蝶形是一组,每级有N/2L组*/
{ //一组蝶形运算
for(k=0;k<l;k++) /*每组有L个*/
{ //一个蝶形运算
xW=mul(x[j+k+l],WN[N/(2*l)*k]); //碟间距为l
top=add(x[j+k],xW); //每组的第k个蝶形
bottom=sub(x[j+k],xW);
x[j+k]=top;
x[j+k+l]=bottom;
}
}
}
}
三、FFT计算结果验证
随便输入一个64点序列,例如
x[N]={{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0},{8,0},{4,0},{1,0},{3,0},{2,0},{5,0}};
在Keil中Debug查看数组变量x的FFT计算结果并与MATLAB计算结果进行比对,可以发现非常准确,说明程序编写正确!
FFT验证:C语言与MATLAB计算结果对比
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TX估计是考虑到安全性吧, 毕竟QQ空间和新浪微博不一样, 新浪微博是谁都可以看的, 而QQ空间里面的东西就有限制了
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