第3章 DSP芯片的定点运算
3.1 数 的 定 标
在定点DSP芯片中，采用定点数进行数值运算，其操作数一般采用整型数来表示。一个整型数的最大表示范围取决于DSP芯片所给定的字长，一般为16位或24位。显然，字长越长，所能表示的数的范围越大，精度也越高。如无特别说明，本书均以16位字长为例。
DSP芯片的数以2的补码形式表示。每个16位数用一个符号位来表示数的正负，0表示数值为正，1则表示数值为负。其余15位表示数值的大小。因此
二进制数0010000000000011b＝8195
二进制数1111111111111100b＝-4
对DSP芯片而言，参与数值运算的数就是16位的整型数。但在许多情况下，数**算过程中的数不一定都是整数。那么，DSP芯片是如何处理小数的呢？应该说，DSP芯片本身无能为力。那么是不是说DSP芯片就不能处理各种小数呢？当然不是。这其中的关键就是由程序员来确定一个数的小数点处于16位中的哪一位。这就是数的定标。
通过设定小数点在16位数中的不同位置，就可以表示不同大小和不同精度的小数了。数的定标有Q表示法和S表示法两种。表3.1列出了一个16位数的16种Q表示、S表示及它们所能表示的十进制数值范围。
从表3.1可以看出，同样一个16位数，若小数点设定的位置不同，它所表示的数也就不同。例如：
16进制数2000H＝8192，用Q0表示
16进制数2000H＝0.25，用Q15表示
但对于DSP芯片来说，处理方法是完全相同的。
从表3.1还可以看出，不同的Q所表示的数不仅范围不同，而且精度也不相同。Q越大，数值范围越小，但精度越高；相反，Q越小，数值范围越大，但精度就越低。例如，Q0的数值范围是-32768到+32767，其精度为1，而Q15的数值范围为-1到0.9999695，精度为 1/32768 = 0.00003051。因此，对定点数而言，数值范围与精度是一对矛盾，一个变量要想能够表示比较大的数值范围，必须以牺牲精度为代价；而想提高精度，则数的表示范围就相应地减小。在实际的定点算法中，为了达到最佳的性能，必须充分考虑到这一点。
浮点数与定点数的转换关系可表示为：
浮点数(x)转换为定点数( )：
定点数( )转换为浮点数(x)：
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3.2 高级语言：从浮点到定点 在编写DSP模拟算法时，为了方便，一般都是采用高级语言(如C语言)来编写模拟程序。程序中所用的变量一般既有整型数，又有浮点数。如例3.1程序中的变量i是整型数，而pi是浮点数，hamwindow则是浮点数组。例3.1 256点汉明窗计算int i;float pi=3.14159;float hamwindow[256];for(i=0;i<256;i++) hamwindow=0.54-0.46*cos(2.0*pi*i/255);如果要将上述程序用某种定点DSP芯片来实现，则需将上述程序改写为DSP芯片的汇编语言程序。为了DSP程序调试的方便及模拟定点DSP实现时的算法性能，在编写DSP汇编程序之前一般需将高级语言浮点算法改写为高级语言定点算法。下面讨论基本算术运算的定点实现方法。[url=]< xmlnamespace prefix ="st1" ns ="urn:schemas-microsoft-com:office:smarttags" />3.2.1 加法/减法运算的C语言定点模拟[/url] 设浮点加法运算的表达式为：float x,y,z;z=x+y;将浮点加法/减法转化为定点加法/减法时最重要的一点就是必须保证两个操作数的定标值一样。若两者不一样，则在做加法/减法运算前先进行小数点的调整。为保证运算精度，需使Q值小的数调整为与另一个数的Q值一样大。此外，在做加法/减法运算时，必须注意结果可能会超过16位表示。如果加法/减法的结果超出16位的表示范围，则必须保留32位结果，以保证运算的精度。1．结果不超过16位表示范围设x的Q值为Qx，y的Q值为Qy，且Qx>Qy，加法/减法结果z的定标值为Qz，则z＝x+y Þ= = Þ所以定点加法可以描述为：int x,y,z;long temp; temp＝y<<(Qx－Qy);temp＝x＋temp;z＝(int)(temp>>(Qx－Qz)), 若Qx≥Qzz＝(int)(temp<<(Qz－Qx)), 若QxQ≤z例3.2 定点加法设x＝0.5，y＝3.1，则浮点运算结果为z＝x+y＝0.5+3.1＝3.6;Qx＝15，Qy＝13，Qz＝13，则定点加法为：x＝16384；y＝25395;temp＝25395<<2＝101580;temp＝x+temp＝16384+101580＝117964;z＝(int)(117964L>>2)＝29491;因为z的Q值为13，所以定点值z＝29491即为浮点值z＝29491/8192＝3.6。例3.3 定点减法设x＝3.0，y＝3.1，则浮点运算结果为z＝x-y＝3.0-3.1＝-0.1;Qx＝13，Qy＝13，Qz＝15，则定点减法为：x＝24576；y＝25295；temp＝25395;temp＝x-temp＝24576-25395＝-819;因为Qx<Qz，故 z＝(int)(-819<<2)＝-3276。由于z的Q值为15，所以定点值z＝-3276即为浮点值z＝-3276/32768»-0.1。2．结果超过16位表示范围设x的Q值为Qx，y的Q值为Qy，且Qx>Qy，加法结果z的定标值为Qz,则定点加法为：int x，y；long temp，z；temp＝y<<(Qx-Qy)；temp＝x＋temp;z＝temp>>(Qx-Qz)，若Qx≥Qzz＝temp<<(Qz-Qx)，若Qx≤Qz例3.4 结果超过16位的定点加法设x＝15000，y＝20000，则浮点运算值为z＝x＋y＝35000，显然z>32767，因此Qx＝1，Qy＝0，Qz＝0，则定点加法为：x＝30000；y＝20000；temp＝20000<<1＝40000;temp＝temp+x＝40000+30000＝70000;z＝70000L>>1＝35000;因为z的Q值为0，所以定点值z=35000就是浮点值，这里z是一个长整型数。当加法或加法的结果超过16位表示范围时，如果程序员事先能够了解到这种情况，并且需要保证运算精度时，则必须保持32位结果。如果程序中是按照16位数进行运算的，则超过16位实际上就是出现了溢出。如果不采取适当的措施，则数据溢出会导致运算精度的严重恶化。一般的定点DSP芯片都设有溢出保护功能，当溢出保护功能有效时，一旦出现溢出，则累加器ACC的结果为最大的饱和值(上溢为7FFFH，下溢为8001H)，从而达到防止溢出引起精度严重恶化的目的。[url=]3.2.2 乘法运算的C语言定点模拟[/url] 设浮点乘法运算的表达式为：float x,y,z;z = xy;假设经过统计后x的定标值为Qx，y的定标值为Qy，乘积z的定标值为Qz，则z = xy Þ= Þ= 所以定点表示的乘法为：int x,y,z;long temp;temp = (long)x;z = (temp×y) >> (Qx+Qy-Qz);例3.5 定点乘法设x = 18.4，y = 36.8，则浮点运算值为z =18.4×36.8 = 677.12;根据上节，得Qx = 10，Qy = 9，Qz = 5，所以x = 18841；y = 18841；temp = 18841L;z = (18841L*18841)>>(10+9-5) = 354983281L>>14 = 21666;因为z的定标值为5，故定点 z = 21666即为浮点的 z = 21666/32 = 677.08。
3.2.3 除法运算的C语言定点模拟
设浮点除法运算的表达式为：float x,y,z;z = x/y;假设经过统计后被除数x的定标值为Qx，除数y的定标值为Qy，商z的定标值为Qz，则z = x/y Þ= Þ所以定点表示的除法为：int x,y,z;long temp;temp = (long)x;z = (temp<<(Qz-Qx+Qy))/y;例3.6 定点除法设x = 18.4，y = 36.8，浮点运算值为z = x/y = 18.4/36.8 = 0.5;根据上节，得Qx = 10，Qy = 9，Qz = 15；所以有x = 18841, y = 18841;temp = (long)18841;z = (18841L<<(15-10+9))/18841 = 308690944L/18841 = 16384;因为商z的定标值为15，所以定点z = 16384即为浮点 z = 16384/215= 0.5。[url=]3.2.4 程序变量的Q值确定[/url] 在前面几节介绍的例子中，由于x、y、z的值都是已知的，因此从浮点变为定点时Q值很好确定。在实际的DSP应用中，程序中参与运算的都是变量，那么如何确定浮点程序中变量的Q值呢？从前面的分析可以知道，确定变量的Q值实际上就是确定变量的动态范围，动态范围确定了，则Q值也就确定了。设变量的绝对值的最大值为 ，注意 必须小于或等于32767。取一个整数n，使它满足则有Q = 15-n例如，某变量的值在-1至＋1之间，即 <1，因此n = 0，Q＝15-n = 15。确定了变量的 就可以确定其Q值，那么变量的 又是如何确定的呢？一般来说，确定变量的 有两种方法：一种是理论分析法，另一种是统计分析法。1．理论分析法有些变量的动态范围通过理论分析是可以确定的。例如：(1) 三角函数，y = sin(x)或y = cos(x)，由三角函数知识可知，|y|≤1；(2) 汉明窗，y(n) = 0.54-0.46cos [2pn/(N-1)] ，0≤n≤N-1。因为-1≤cos [2pn/(N-≤1，所以0.08≤y(n)≤1.0；(3) FIR卷积。y(n)= ，设 ，且x(n)是模拟信号12位量化值，即有 ≤211，则 ≤211；(4) 理论已经证明，在自相关线性预测编码(LPC)的程序设计中，反射系数 满足下列不等式：，i= 1,2,…,p, p为LPC的阶数。2．统计分析法对于理论上无法确定范围的变量，一般采用统计分析的方法来确定其动态范围。所谓统计分析，就是用足够多的输入信号样值来确定程序中变量的动态范围，这里输入信号一方面要有一定的数量，另一方面必须尽可能地涉及各种情况。例如，在语音信号分析中，统计分析时就必须采集足够多的语音信号样值，并且在所采集的语音样值中，应尽可能地包含各种情况，如音量的大小、声音的种类(男声、女声) 等。只有这样，统计出来的结果才能具有典型性。当然，统计分析毕竟不可能涉及所有可能发生的情况，因此，对统计得出的结果在程序设计时可采取一些保护措施，如适当牺牲一些精度，Q值取比统计值稍大些，使用DSP芯片提供的溢出保护功能等。[url=]3.2.5 浮点至定点变换的C程序举例[/url] 本节通过一个例子来说明C程序从浮点变换至定点的方法。这是一个对语音信号(0.3kHz~3.4kHz)进行低通滤波的C语言程序，低通滤波的截止频率为800Hz，滤波器采用19点的有限冲击响应FIR滤波。语音信号的采样频率为8kHz，每个语音样值按16位整型数存放在insp.dat文件中。例3.7 语音信号800Hz 19点FIR低通滤波C语言浮点程序#include <stdio.h>const int length = 180 void filter(int xin[ ],int xout[ ],int n,float h[ ]); static float h[19]= {0.01218354,-0.009012882,-0.02881839,-0.04743239,-0.04584568,-0.008692503,0.06446265,0.1544655,0.2289794,0.257883,0.2289794,0.1544655,0.06446265,-0.008692503,-0.04584568,-0.04743239,-0.02881839,-0.009012882,0.01218354};static int x1[length+20];void filter(int xin[ ],int xout[ ],int n,float h[ ]){int i,j;float sum;for(i=0;i<length;i++) x1[n+i-1]=xin;for (i=0;i<length;i++){sum=0.0;for(j=0;j<n;j++) sum+=h[j]*x1[i-j+n-1];xout=(int)sum; }for(i=0;i<(n-1);i++) x1[n-i-2]=xin[length-1-i];}void main( ){FILE *fp1,*fp2;int frame,indata[length],outdata[length];fp1=fopen(insp.dat,"rb"); fp2=fopen(outsp.dat,"wb"); frame=0;while(feof(fp1)==0){frame++;printf("frame=%d n",frame);for(i=0;i<length;i++) indata=getw(fp1); filter(indata,outdata,19,h); for(i=0;i<length;i++) putw(outdata,fp2); }fcloseall( ); return(0);}例3.8 语音信号800Hz 19点FIR低通滤波C语言定点程序 #include <stdio.h>const int length=180;void filter(int xin[ ],int xout[ ],int n,int h[ ]);static int h[19]={399,-296,-945,-1555,-1503,-285,2112,5061,7503,8450, 7503,5061,2112,-285,-1503,-1555,-945,-296,399}; static int x1[length+20];void filter(int xin[ ],int xout[ ],int n,int h[ ]){int i,j;long sum;for(i=0;i<length;i++) x1[n+i-1]=xin;for (i=0;i<length;i++){sum=0;for(j=0;j<n;j++) sum+=(long)h[j]*x1[i-j+n-1];xout=sum>>15;}for(i=0;i<(n-1);i++) x1[n-i-2]=xin[length-i-1];}主程序与浮点的完全一样。
乘的过程中，程序员可不考虑溢出而只需调整运算中的小数点。而加法则是一个更加复杂的过程。首先，加法运算必须用相同的Q点表示；其次，程序员或者允许其结果有足够的高位以适应位的增长，或者必须准备解决溢出问题。如果操作数仅为16位长，其结果可用双精度数表示。下面举例说明16位数相加的两种途径。1．保留32位结果LAC OP1 ;(Q15)ADD OP2 ;(Q15)SACH ANSHI ;(高16位结果)SACL ANSLO ;(低16位结果)2．调整小数点保留16位结果LAC OP1,15 ;(Q14数用ACCH表示)ADD OP2,15 ;(Q14数用ACCH表示)SACH ANS ;(Q14)加法运算最可能出现的问题是运算结果溢出。TMS320提供了检查溢出的专用指令BV，此外，使用溢出保护功能可使累加结果溢出时累加器饱和为最大的整数或负数。当然，即使如此，运算精度还是大大降低。因此，最好的方法是完全理解基本的物理过程并注意选择数的表达方式。
3.3.3 定点除法 在通用DSP芯片中，一般不提供单周期的除法指令，为此必须采用除法子程序来实现。二进制除法是乘法的逆运算。乘法包括一系列的移位和加法，而除法可分解为一系列的减法和移位。下面来说明除法的实现过程。设累加器为8位，且除法运算为10除以3。除的过程就是除数逐步移位并与被除数比较的过程，在每一步进行减法运算，如果能减则将位插入商中。(1) 除数的最低有效位对齐被除数的最高有效位。 00001010－ 00011000 11110010(2) 由于减法结果为负，放弃减法结果，将被除数左移一位再减。
00010100－ 00011000 11111000(3) 结果仍为负，放弃减法结果，被除数左移一位再减。 00101000－ 00011000 00010000(4) 结果为正，将减法结果左移一位后加１，作最后一次减。 00100001－ 00011000 00001001(5) 结果为正，将结果左移一位加1得最后结果。高４位代表余数，低4位表示商。 00010011即商为0011=3，余数为0001=1。TMS320没有专门的除法指令，但使用条件减指令SUBC可以完成有效灵活的除**能。使用这一指令的唯一限制是两个操作数必须为正。程序员必须事先了解其可能的运算数的特性，如其商是否可以用小数表示及商的精度是否可被计算出来。这里每一种考虑可影响如何使用SUBC指令的问题。下面给出两种不同情况下的TMS320C25除法程序。(1) 分子小于分母DIV_A:LT NUMERAMPY DENOMPACSACH TEMSGN ;取商的符号LAC DENOMABSSACL DENOM ;使分母为正ZALH NUMERA ;使分子为正ABSRPTK 14SUBC DENOM ;除循环15次SACL QUOTLAC TEMSGNBGEZ A1 ;若符号为正,则完成ZACSUB QUOTSACL QUOT ;若为负,则商为负A1: RET这个程序中，分子在NUMERA中，分母在DENOM中，商存在QUOT中，TEMSGN为暂存单元。(2) 规定商的精度DIV_B:LT NUMERAMPY DENOMPACSACH TEMSGN ;取商的符号LAC DENOMABSSACL DENOM ;使分母为正LACK 15ADD FRACSACL FRAC ;计算循环计数器LAC NUMERAABS ;使分子为正RPT FRACSUBC DENOM ;除循环16+FRAC次SACL QUOTLAC TEMSGNBGEZ B1 ;若符号为正,则完成ZACSUB QUOTSACL QUOT ;若为负,则商为负B1: RET与DIV_A相同，这个程序中，分子在NUMERA中，分母在DENOM中，商存在QUOT中，TEMSGN为暂存单元。FRAC中规定商的精度，如商的精度为Q13，则调用程序前FRAC单元中的值应为13。
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