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最小均方算法（LMS Algorithm）理论及DSP实现(1)

2019-07-15 01:05发布

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本帖最后由 Peonys 于 2017-11-14 14:40 编辑

最小均方算法（LMS Algorithm）理论及DSP实现


        LMS算法可认为是机器学习里面最基本也比较有用的算法，神经网络中对参数的学习使用的就是LMS的思想，在通信信号处理领域LMS也非常常见，比如自适应滤波器。
         本文主要对LMS（Least Mean Square）算法进行简单的整理，包括内容：
         （1）理论上介绍基于LMS的梯度下降算法（包括BACH/STOCHASTIC），给出一个matlab的实现
         （2）DSP上的实现，主要使用C语言

         1. LMS算法理论
         问题引出
         因为本人感兴趣的领域为机器学习，因此这里先说明下学习的过程，给定这样一个问题：某地的房价与房地面积和卧室的数量之间成如下表的关系，
Living area (feet2)       #bedrooms          Price (1000$s)
2104                              3                           400
1600                              3                           330
2400                              3                           369
1416                              2                           232
3000                              4                           540
         据此，我们要通过分析上面的数据学习出一个模型，用于预测其它情况（比如面积2000,卧室数5）的房价。这就是一个学习问题，更简洁的说，就是一个概率里的回归问题。这里固定几个符号：x表示输入（[Living area，bedrooms]），y表示输出（Price），h表示要学习的模型，m表示输入每个数据维度（这里是2），n表示输入数据的个数（这里是5）。
         该学习过程的可以描述如下图，

         h必定与面积和卧室数相关，.这里不考虑复杂的情况，假设模型是线性的（实际其它问题中很可能是其它关系模型，比如exp）
         .
         .令x1=1，则 。这里，我们考虑上面的房价问题，还是将w0忽略。
         为了获得h(x)，现在的问题是什么呢？那就是：怎样获得h(x)的w1~w2的值。
         我们再对问题进行描述：
         已知——上面的数据表格，线性模型（不知道参数）
         求解——参数w1~w2
         引入一个函数，叫损失函数

         就是最小二乘法中计算误差的函数，只是前面添加了1/2，表示什么意思呢？损失函数越小，说明模型与当前已知数据的拟合程度越好，否则越差。因此，求解w1~w2的目标就是求解J(w)最小，这就用到了LMS算法。

         LMS算法
         LMS算法是一个搜索算法，假设w从某个给定的初始值开始迭代，逐渐使J(W)朝着最小的方向变化，直到达到一个值使J(w)收敛。考虑梯度下降算法（gradient descent algorithm），它通过给定的w值快速的执行如下的更新操作：

         其中为学习率（Learning rate）。
         要对w更新，首先需要完成上面的求导，求导的结果参见下面的算法流程。
         对一个单一的训练实例j，

         按照上述的更新方法，对多个实例的更新规则为
Repeat until convergence {
        for every j, exec

}
         这种更新的梯度下降方法称为batch gradient descent。还有一种更新的方式：采用随机的样本数据实例，如下
Repeat until convergence {
        for every j, exec

}
         这种方法称为stochastic gradient descent (或者incremental gradient descent)。
         两种方法的明显区别是batch的训练时间要比stochastic常，但效果可能更好。实际问题中，因为我们只需要找到一个接近使J(w)最小的值即可，因此stochastic更常用。
         说了这么久，LMS到底能用来干嘛，其实上面已经很清楚了：参数训练中的求极值。
         在matlab上对stochastic gradient descent 的实现如下：
  • function [test_targets, a, updates] = LMS(train_patterns, train_targets, test_patterns, params)  
  •   
  • % Classify using the least means square algorithm  
  • % Inputs:  
  • %   train_patterns  - Train patterns  
  • %   train_targets   - Train targets  
  • %   test_patterns   - Test  patterns  
  • %   param           - [Maximum iteration Theta (Convergence criterion), Convergence rate]  
  • %  
  • % Outputs  
  • %   test_targets    - Predicted targets  
  • %   a               - Weights vector  
  • %   updates         - Updates throughout the learning iterations  
  • %  
  • % NOTE: Suitable for only two classes  
  • %  
  •   
  • [c, n]                  = size(train_patterns);  
  • [Max_iter, theta, eta]  = process_params(params);  
  •   
  • y               = [train_patterns ; ones(1,n)];  
  • train_zero      = find(train_targets == 0);  
  •   
  • %Preprocessing  
  • processed_patterns               = y;  
  • processed_patterns(:,train_zero) = -processed_patterns(:,train_zero);  
  • b                                = 2*train_targets - 1;   
  •   
  • %Initial weights  
  • a               = sum(processed_patterns')';  
  • iter            = 1;  
  • k               = 0;  
  • update          = 1e3;  
  • updates         = 1e3;  
  •   
  • while ((sum(abs(update)) > theta) & (iter < Max_iter))  
  •     iter = iter + 1;  
  •       
  •     %k <- (k+1) mod n  
  •     k = mod(k+1,n);  
  •     if (k == 0),   
  •         k = n;  
  •     end  
  •       
  •     % a <- a + eta*(b-a'*Yk)*Yk'  
  •     update  = eta*(b(k) - a'*y(:,k))*y(:,k);  
  •     a       = a + update;  
  •       
  •     updates(iter) = sum(abs(update));  
  • end  
  •   
  • if (iter == Max_iter),  
  •     disp(['Maximum iteration (' num2str(Max_iter) ') reached']);  
  • else  
  •     disp(['Did ' num2str(iter) ' iterations'])  
  • end  
  •   
  • %Classify the test patterns  
  • test_targets = a'*[test_patterns; ones(1, size(test_patterns,2))];  
  •   
  • test_targets = test_targets > 0;  

复制代码

2. 基于LMS的梯度下降算法在DSP上的实现
         下面是我在DSP6713上使用软件仿真实现的LMS算法，
  • /*
  • * zx_lms.h
  • *
  • *  Created on: 2013-8-4
  • *      Author: monkeyzx
  • */  
  •   
  • #ifndef ZX_LMS_H_  
  • #define ZX_LMS_H_  
  •   
  • /*
  • * methods for @lms_st.method
  • */  
  • #define STOCHASTIC           (0x01)     /* 随机梯度下降 */  
  • #define BATCH                (0x02)     /* BATCH梯度下降 */  
  •   
  • struct lms_st {  
  •     short method;       /* 0/1 */  
  •     double *x;          /* features, x0,...,x[n-1] */  
  •     int n;              /* dimension of features */  
  •     double *y;          /* given output, y0,..,y[m-1] */  
  •     int m;              /* number of data set */  
  •     double *weight;     /* weighs that want to train by using LMS, w0,w1,..,w[n-1] */  
  •     double lrate;       /* learning rate */  
  •     double threshhold;  /* if error < threshold, stop iteration */  
  •     int max_iter;       /* if iter numbers > max_iter, stop iteration,
  •                            if max_iter<0, then max_iter is unused */  
  • };  
  •   
  • extern void zx_lms(void);  
  •   
  • #endif /* ZX_LMS_H_ */  

复制代码

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