LM3914内部设有迟滞电路，显示不是从一个LED立刻跳到另一个LED，而是平缓过度，可消除噪声干扰，改善输入信号快速变化时引起的闪烁现象。我觉得用楼上说的挺不错的主意。

1.NPN管一般用来关断负极，你这里是关正极，电流经过R3，会将第一个NPN关发射极抬高，如果电流过大，发射极会很高，三极管很难达到饱和状态。
2.三家管be压降为0.7V，你看你这个E极接B极，从左边第一个三极管开始，不算电阻上的压降，每一个三极管B极电压比前一个B极电压高0.7V，如此累计，到最后一个三极管B极要多高电压才能导通。依次变暗是因为三极管E极电压逐渐降低0.7V左右，到第三个时，BE间电压低于0.7V，导致三极管不能导通。

一个三极管驱动一个发光二极管，逐个缓慢点亮，同时熄灭，应当是可以做到的。
但是，你的这种设计是不可能实现的。
1. 因为在这里你错误地采用了NPN发射极输出方式，依次作为下一个晶体管的基极输入。这是错误的思路！
2. 作为开关的晶体管，就连第一个，也根本不可能进入饱和导通状态。如果说第一个发光二极管勉强地亮起来了，那么你也该问问自己，后面的也都应该亮吗？
后面的发射极电位都依次比前一个发射极低0.7V，在这3.9V的低电源电压下，后面的发光管还可能拥有发光的条件吗？
3. 第一个发光管是缓慢亮起了，至于后面的发光管还想逐个地缓慢发光，则是根本不可能的。
暂且假设它们具有发光的条件，那也是随同第一个发光管一起缓慢亮起来，而不是你想要的逐个的节奏。
4. 这不是你所进行的不断“试验不同的电阻”能够解决的事。原理上就错了，不要再费那力气了。检视自己思路的错误才是最重要的。